Question

[Nguyễn Thị Minh Thảo]

Tìm tất cả các hàm số f: R -> R thoả mãn điều kiện: f((x - y)²) = x² - 2yf(x) + ((f(y)²); ∀x, y ∈ R.

Answer 1

[MrP]

Gọi P(x,y) là phép thế của phương trình hàm đề bài.

P(x,x) cho ta: f(0)=x²-2xf(x)+f²(x). (Ở đây, f²(x) là f(x)f(x) chứ không phải là f(f(x))).

Đến đây cho x=0 ta suy ra: f(0)=f²(0). Ta được f(0)=0 hoặc f(0)=1. 

Trường hợp 1: f(0)=0 suy ra: f²(x)-2xf(x)+x²=0 với mọi x thực. Suy ra: (f(x)-x)²=0 với mọi x nên f(x)=x với mọi x.

Thử lại thấy thỏa mãn.

Trường hợp 2: f(0)=1 tương tự trường hợp 1, ta suy ra với mọi x thì f(x)=x-1 hoặc f(x)=x+1.

P(x,0) suy ra: f(x²)=x²+1. Do đó với mọi x không âm thì f(x)=x+1. 

P(0,y) suy ra: f(y²)=f²(y)-2y suy ra: (y+1)²=f²(y) với mọi y thực.

Nếu tồn tại a thực khác 0 sao cho: f(a)=a-1. Thay y=a ta được: (a+1)²=f²(a)=(a-1)² suy ra:

a²+2a+1=a²-2a+1 suy ra: a=0(vô lí). Do đó: f(x)=x+1 với mọi x thực.

Thử lại không thỏa mãn. Vậy f(x)=x với mọi x.