Question

[Minh Hải Nguyễn]

Tìm số tự nhiên m,n sao cho 4^m + 2^n + 3 là một số chính phương.
ai trả lời nhanh mk follow nha!

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Nếu $m=0, n=0$ thì $4^m+2^n+3=5$ không phải scp (loại)

------------------------

Nếu $m>0; n=0$ thì $4^m+2^n=4^m+4$. Đặt $4^m+4=a^2$ với $a$ là stn

Khi đó:

$4=a^2-4^m=(a-2^m)(a+2^m)$

Do $a+2^m, a-2^m$ có cùng tính chẵn lẻ và $a+2^m>0$ với $a,m$ là stn.

$\Rightarrow a+2^m=2; a-2^m=2$

$\Rightarrow 2^m=0$ (vô lý - loại)

----------------------------

Nếu $m=0, n>0$ thì: $4^m+2^n+3=2^n+4$

Đặt $2^n+4=a^2$ với $a$ là stn

$\Rightarrow 2^n=a^2-4=(a-2)(a+2)$

$\Rightarrow a-2=2^x, a+2=2^y$ với $x,y$ là stn và $x+y=n,y> x$

$\Rightarrow 4=2^y-2^x=2^x(2^{y-x}+1)$

$\Rightarrow 2^{2-x}=2^{y-x}+1$

Do $y>x$ nên $2^{2-x}=2^{y-x}+1$ là stn

$\Rightarrow 2-x\geq 0\Rightarrow x\leq 2$

$\Rightarrow x=0;1;2$. Thử lại thấy $x=2; a=6; n=5$

-----------------------------

Nếu $m>0, n>0$:

Xét TH $n\geq 2$ thì $4^m\vdots 4; 2^n\vdots 4$

$\Rightarrow 4^m+2^n+3$ chia 4 dư 3 

$\Rightarrow 4^m+2^n+3$ không là scp (loại)

$\Rightarrow n<2$
$\Rightarrow n=1$

Khi đó: $4^m+2^n+3=4^m+5$

Đặt $4^m+5=a^2$ với $a$ là stn

$5=a^2-4^m=(a-2^m)(a+2^m)$

$\Rightarrow a+2^m=5; a-2^m=1$

$\Rightarrow m=1$

Vậy $(m,n)=(1,1); (0,5)$