Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x+\sqrt{1+x^2}=a\left(\sqrt{1+y^2}-y\right)\) (\(a=2015\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{1+x^2}+ay=a\sqrt{1+y^2}-x\)
\(\Leftrightarrow1+x^2+a^2y^2+2ay\sqrt{1+x^2}=a^2+a^2y^2+x^2-2ax\sqrt{1+y^2}\)
\(\Leftrightarrow y\sqrt{1+x^2}+x\sqrt{1+y^2}=\frac{a^2-1}{2a}=b\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(1+x^2\right)+x^2\left(1+y^2\right)+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=b^2\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+x^2y^2+x^2+y^2+1+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=b^2+1\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)=b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\right)^2=b^2+1\)
\(\Leftrightarrow xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=\sqrt{b^2+1}\)
\(\Leftrightarrow xy+\frac{1+x^2+1+y^2}{2}\ge\sqrt{b^2+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{b^2+1}-2\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge\sqrt{2\sqrt{b^2+1}-2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\sqrt{2\sqrt{b^2+1}-2}\) khi \(x=y\)
Làm gọn kết quả lại:
\(b^2+1=\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2+1=\frac{a^4+2a^2+1}{4a^2}=\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2\sqrt{b^2+1}-2}=\sqrt{\frac{a^2+1}{a}-2}=\sqrt{\frac{\left(a-1\right)^2}{a}}=\frac{a-1}{\sqrt{a}}=\frac{2014}{\sqrt{2015}}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{2014}{\sqrt{2015}}\) khi \(x=y=\frac{1007}{\sqrt{2015}}\)
cmr tồn tại duy nhất bộ nghiệm số nguyên dương (a,n) sao cho
\(a^{n+1}\)-\(\left(a=1\right)^n\)=2001
\(a^{n+1}-\left(a=1\right)^n=2001\left(n\in N\right)\)
\(\Rightarrow a^{n-1}-1^n=2001\)
\(\Rightarrow a^{n-1}-1=2001\)
\(\Rightarrow a^{n-1}=2001+1\)
\(\Rightarrow a^{n-1}=2002\)
Mk chỉ biết giải TH:n dương và chỉ giải đc thế thôi
Chúc bn học tốt
1/ Đề đúng phải là \(3x^2+2y^2\) có giá trị nhỏ nhất nhé.
Áp dụng BĐT BCS , ta có
\(1=\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+\sqrt{3}.\sqrt{3}y\right)^2\le\left[\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2\right]\left(2x^2+3y^2\right)\)
\(\Rightarrow2x^2+3y^2\ge\frac{1}{5}\). Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}y}{\sqrt{3}}\\2x+3y=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{5}\)
Vậy \(3x^2+2y^2\) có giá trị nhỏ nhất bằng 1/5 khi x = y = 1/5
2/ Áp dụng bđt AM-GM dạng mẫu số ta được
\(6=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{\sqrt{3}}{y}\\\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{6}}{6}\\y=\frac{3+\sqrt{6}}{6}\end{cases}\)
Vậy ......................................
a) ta có : \(2x^2+3x\Leftrightarrow x\left(2x+3\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{-3}{2}\end{matrix}\right.\)
vậy mệnh đề này đúng
b) ta có số nguyên có 2 dạng :
+) \(x=2a\Rightarrow x^2=4x^2⋮2\) \(\Rightarrow x=2a\) là thỏa mãn
+) \(x=2a+1\Rightarrow x^2=4a^2+4a+1⋮̸2\) \(\Rightarrow x=2a+1\) là không thỏa mãn
\(\Rightarrow x=2a⋮2\)
vậy mệnh đề này đúng
c) ta có : vì phương trình \(X^2-aX+\left(a-1\right)\)
có : \(\Delta=a^2-4\left(a-1\right)=a^2-4a+4=\left(a-2\right)^2\ge0\)
luôn có nghiệm \(\Rightarrow\) \(x+y+xy\) có thể bằng \(-1\)
\(\Rightarrow\) mệnh đề này sai
d) cái này thì theo fetmat thì phải .
\(\Rightarrow n=2\) là duy nhất
\(\Rightarrow\) mệnh đề này đúng
vậy có \(3\) mệnh đề đúng
\(P=\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{c^2}{1-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3-\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(MIN_P=\frac{3}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Lời giải:
Khai triển \(P=x^2y^2+1+1+\frac{1}{x^2y^2}=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\geq 2\sqrt{\frac{1}{256}}=\frac{1}{8}\)
\(1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\Rightarrow x^2y^2\leq \frac{1}{16}\Rightarrow \frac{255}{256x^2y^2}\geq \frac{255}{16}\)
Cộng theo vế các BĐT trên:
\(\Rightarrow x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\geq \frac{257}{16}\)
\(\Rightarrow P=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\geq \frac{289}{16}=P_{\min}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
để\(\frac{19}{n-1}\)là số nguyên suy ra 19 chia hết cho n-1 suy ra n-1 thuộc ước của 19
suy ra n-1=\(\left\{1;19\right\}\)suy ra n=\(\left\{2;20\right\}\)
vậy n=\(\left\{2;20\right\}\)