K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
BD
1
4 tháng 9 2017
Ta có: \(2a+bc=\left(a+b+c\right)a+bc=a^2+ab+ac+bc\)
\(=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
Tương tự, ta có \(2b+ca=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\)và \(2c+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
Vậy \(\left(2a+bc\right)\left(2b+ca\right)\left(2c+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\)là số chính phương.
LP
2
16 tháng 2 2018
Cách lầy nèk
\(Q=\frac{a}{1+2a}+\frac{b}{1+2b}\le\frac{a}{2\sqrt{2a}}+\frac{b}{2\sqrt{2b}}=\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{2}}\)
\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{\frac{a}{2}}+\sqrt{\frac{b}{2}}}{2\sqrt{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}}\le\frac{\frac{a+\frac{1}{2}}{2}+\frac{b+\frac{1}{2}}{2}}{2}=\frac{a+b+1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
LA
16 tháng 2 2018
Có a+b =1
Áp dụng bất đẳng thức cô-si
=> ab= \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\)
<=> ab= \(\frac{1}{2}\)
P=\(\frac{\left(ab+a+ab+b\right)}{\left(ab+a+b+1\right)}\)
= \(\frac{\left(2ab+1\right)}{\left(ab+2\right)}\)
=\(\frac{\left[\left(2ab+4\right)-3\right]}{\left(ab+2\right)}\)
=\(2+\left[\frac{-3}{\left(ab+2\right)}\right]\)
Có ab = \(\frac{1}{2}\)
\(ab+2\Leftarrow\frac{5}{2}\)
\(\frac{1}{\left(ab+2\right)}\ge\frac{2}{5}\)
\(\frac{-1}{\left(ab+2\right)}\Leftarrow\frac{-2}{5}\)
\(\frac{-3}{ \left(ab+2\right)}\Leftarrow\frac{-6}{5}\)
=> GTLN = \(\frac{-6}{5}+2=\frac{4}{5}\) tại \(a=b=\frac{1}{2}\)
23 tháng 12 2017
Ta có : \(p=\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}.\frac{b+c}{4ab}}=\frac{1}{a}\)
\(\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{a+c}{4ac}\ge4\sqrt{\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}.\frac{a+c}{4ac}}=\frac{1}{b}\)
\(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}.\frac{a+b}{4ab}}=\frac{1}{c}\)
Cộng vế với vế ta được \(p+\frac{1}{4c}+\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4a}+\frac{1}{4c}+\frac{1}{4b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow p+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow p\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{2a.2b.2c}}=\frac{3}{\sqrt[3]{8abc}}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
N
19 tháng 8 2020
Xét: \(\frac{bc}{a^2b+ca^2}=\frac{bc}{a\cdot abc\cdot\frac{1}{c}+a\cdot abc\cdot\frac{1}{b}}=\frac{b^2c^2}{ab+ca}\)(*)
Tương tự với (*) ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{ca}{b^2c+ab^2}=\frac{c^2a^2}{ab+bc}\\\frac{ab}{c^2a+bc^2}=\frac{a^2b^2}{ca+bc}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{bc}{a^2b+ca^2}=\Sigma_{cyc}\frac{b^2c^2}{ab+ca}\)
Ta thấy\(\Sigma_{cyc}\frac{b^2c^2}{ab+ca}\) có dạng: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
Bước cuối Cô-si ba số và kết hợp điều kiện abc=1 là xong
3 tháng 12 2017
Ta có a3b+ab3+2a2b2+2a+2b+1=0
<=>a2+b2+2ab+2a+2b+1=-(a3b+ab3+2a2b2)+a2+b2+2ab
<=>(a+b+1)2=-ab(a+b)2-(a+b)2
<=>(a+b+1)2=(a+b)2(1-ab)
Nếu a+b=0 thì =>1=(1-ab)0=0(vô lí)
Nếu a+b khác 0:
Vì a,b là 2 số hữu tỉ =>(a+b+1)2 và (a+b)2 là bình phương của một số hữu tỉ
=>1-ab là bình phương của một số hữu tỉ
=>đpcm
3 tháng 12 2017
Ta có a3b+ab3+2a2b2+2a+2b+1=0
<=>a2+b2+2ab+2a+2b+1=-(a3b+ab3+2a2b2)+a2+b2+2ab
<=>(a+b+1)2=-ab(a+b)2-(a+b)2
<=>(a+b+1)2=(a+b)2(1-ab)
Nếu a+b=0 thì =>1=(1-ab)0=0(vô lí)
Nếu a+b khác 0:
Vì a,b là 2 số hữu tỉ =>(a+b+1)2 và (a+b)2 là bình phương của một số hữu tỉ
=>1-ab là bình phương của một số hữu tỉ
=>đpcm
Đúng 3 Sai 0 Sky Blue đã chọn câu trả lời này.
2a+2b=ab
<=>ab-2a-2b=0
<=>a(b-2)-2b+4=4
<=>(a-2)(b-2)=4
rồi tự gpt ra