Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:
u3 = 3 = u1.q2 và u5 = 27 = u1.q4.
Vì 27 = (u1q2).q2 = 3.q2 nên q2 = 9 hay q = ±3.
Thay q2 = 9 vào công thức chứa u3, ta có u1 = .
- Nếu q = 3, ta có cấp số nhân: , 1, 3, 9, 27.
- Nếu q = -3, ta có cáp số nhân: , -1, 3, -9, 27.
b) Áp dụng công thức tính số hạng tỏng quát từ giả thiết, ta có:
hay
Từ hệ trên ta được: 50.q = 25 => q = .
Và u1 = .
Ta có cấp số nhân .
a) \(u_n=u_1.q^{n-1}=u_1.2^{n-1}\)
\(S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\dfrac{u_1\left(1-2^n\right)}{1-2}=u_1\left(2^n-1\right)\);
\(\dfrac{S_n}{u_n}=\dfrac{u_1\left(2^n-1\right)}{u_1.2^{n-1}}=\dfrac{2^n-1}{2^{n-1}}=2-\dfrac{1}{2^{n-1}}=\dfrac{63}{32}\)
Vì vậy \(\dfrac{1}{2^{n-1}}=\dfrac{1}{32}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2^{n-1}}=\dfrac{1}{2^5}\)\(\Leftrightarrow n-1=5\Leftrightarrow n=6\).
b)
\(u_n=2.q^{n-1}=\dfrac{1}{8}\)\(\Rightarrow q^{n-1}=\dfrac{1}{16}\)
\(S_n=\dfrac{2\left(1-q^n\right)}{1-q}=\dfrac{2\left(1-q.q^{n-1}\right)}{1-q}=\dfrac{2\left(1-\dfrac{1}{16}q\right)}{1-q}=\dfrac{31}{8}\);
Suy ra \(q=-1\).
a)
\(u_1=1+\left(1-1\right).2^1=1\);
\(u_2=1+\left(2-1\right).2^2=1+2^2=5\);
\(u_3=1+\left(3-1\right).2^3=1+2.2^3=17\);
\(u_4=1+\left(4-1\right).2^4=1+3.2^4=49\);
\(u_5=1+\left(5-1\right).2^5=1+4.2^5=129\).
b)
\(u_n=1+\left(n-1\right).2^n\).
\(u_{n+1}=1+\left(n+1-1\right).2^{n+1}=1+n.2^{n+1}\)
\(=1+\left(n-1\right).2^{n+1}+2^{n+1}\)\(=2\left[1+\left(n-1\right).2^n\right]+2^{n+1}-1\)
\(=2.u_n+2^{n+1}-1\).
Vậy công thức truy hồi của dãy số là: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_n=2u_{n-1}+2^n-1\end{matrix}\right.\).
c) Có \(u_n=1+\left(n-1\right).2^n\ge1+\left(1-1\right).2^n=1\).
Vậy \(u_n\ge1,\forall n\in N^{\circledast}\). Nên dãy \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới bởi 1.
Xét .
\(u_n-u_{n-1}=2u_{n-1}+2^n-1-u_{n-1}=u_{n-1}+2^n-1\)\(\ge1+2^n-1=2^n>0,\forall n\in N^{\circledast}\).
Vậy \(u_n-u_{n-1}>0,\forall n\in N^{\circledast}\) nên dãy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
a)
Gọi q là công bội của \(\left(u_n\right)\). Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1q^4=51\\u_1q+u_1q^5=102\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{u_1+u_1q^4}{u_1q_1+u_1q^5}=\dfrac{51}{102}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1+q^4}{q+q^5}=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1+q^4}{q\left(1+q^4\right)}=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow q=2\).
Suy ra: \(u_1+2^4u_1=51\)\(\Leftrightarrow17u_1=51\)\(\Leftrightarrow u_1=3\).
b) \(S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\)\(\dfrac{3\left(1-2^n\right)}{1-2}=3\left(2^n-1\right)=3069\)
\(\Leftrightarrow2^n-1=1023\)\(\Leftrightarrow2^n=1024=2^{10}\)\(\Leftrightarrow n=10\).
Vậy tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 10.
c)
Có \(u_1.q^{n-1}=3.2^{n-1}=12288\)\(\Leftrightarrow2^{n-1}=4096=2^{12}\)\(\Leftrightarrow n-1=12\)\(\Leftrightarrow n=13\).
Vậy số hạng thứ 13 bằng 12 288.
Gọi số hạng đầu và công bội của cấp số nhân là: \(u_1;q\).
a) Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1q^4-u_1=15\\u_1q^3-u_1q=6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{u_1\left(q^4-1\right)}{u_1\left(q^3-q\right)}=\dfrac{15}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(q^2-1\right)\left(q^2+1\right)}{q\left(q^2-1\right)}=\dfrac{15}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{q^2+1}{q}=\dfrac{15}{6}\)
\(\Leftrightarrow6\left(q^2+1\right)=15q\)\(\Leftrightarrow6q^2-15q+6=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}q=2\\q=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\).
Với \(q=2\).
Suy ra: \(u_1\left(q^4-q\right)=15\Rightarrow u_1=\dfrac{15}{q^4-q}=\dfrac{15}{14}\).
Với \(q=\dfrac{1}{2}\)
Suy ra \(u_1=\dfrac{15}{q^4-q}=\dfrac{-240}{7}\).
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1.u_1.q.u_1.q^2=4096\\u_1.\dfrac{q^3-1}{q-1}=56\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(u_1q\right)^3=4096\\u_1\left(q^2+q+1\right)=56\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1q=16\\u_1\left(q^2+q+1\right)=56\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{16}{q}\left(q^2+q+1\right)=56\)
\(\Leftrightarrow16q^2-40q+16=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}q=1\\q=\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow u_1=8\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1u_1u_1qq^2=4096\\u_1+u_1q+u_1q^2=56\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1^3q^3=4096\\u_1\left(1+q+q^2\right)=56\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1q=16\\u_1\left(1+q+q^2\right)=56\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1+q+q^2}{q}=\dfrac{7}{2}\Leftrightarrow2+2q+2q^2=7q\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}q=2\\q=\dfrac{1}{2}\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow u_1=\dfrac{16}{2}=8\)