Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A.\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\) \(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)\left(n+1-n\right)}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}\)
=\(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b. ap dungtinh B =\(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho k + 1 số ta có:
Lần lượt cho k = 1, 2, 3, ... rồi cộng lại ta được
a) \(\sqrt{17}-4\) b) \(\sqrt{3}\) c) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) d)\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\) e) \(x-\sqrt{5}\)
f) \(4+2\sqrt{3}\) g) \(3+2\sqrt{2}\) h) \(x+\sqrt{x}+1\) i) \(\frac{3\sqrt{5}-\sqrt{15}}{10}\)
k) \(\sqrt{5}+\sqrt{6}\) i) 5 h) 0 l) \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) m) \(\frac{20\sqrt{3}}{3}\) d) 0
Ta có:\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\)với \(k=1;2;3;4;....;n\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\)số,ta có:
\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{1\cdot1\cdot1\cdot...\cdot1}{k}\cdot\frac{k+1}{k}}\le\frac{1+1+1+....+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}\)
\(=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)
\(\Rightarrow1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\le1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)
Lần lượt cho \(k=1;2;3;4;.....n\)rồi cộng lại,ta được:
\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+\sqrt[5]{\frac{5}{4}}+....+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\le n+1\)
\(\Rightarrow\left[a\right]=n\)
Làm lại:))
Ta có:\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\)với \(k=1;2;3;4...;n\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\) số,ta có:
\(1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}\ge\left(k+1\right)\sqrt[k+1]{1\cdot1\cdot1\cdot...\cdot1\cdot\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\)
\(\Rightarrow\frac{1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}\ge\sqrt[k+1]{1\cdot1\cdot1\cdot....\cdot1\cdot\frac{k+1}{k}}\)
Mà \(\frac{1+1+....1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{1+1+1+....+1}{k+1}+\frac{\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)
\(\Rightarrow1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\le1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)
Lần lượt thay \(k=1;2;3;....;n\)rồi cộng lại,ta được:
\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+\sqrt[4]{\frac{5}{4}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\le n+1\)
\(\Rightarrow\left[a\right]=n\)