K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 3 2023
Áp dụng BĐT Mincopxki:
\(P\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Lại có do \(a;b;c\ge0\) nên:
\(a^2+2b^2\le a^2+2\sqrt{2}ab+2b^2=\left(a+\sqrt{2}b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2b^2}\le a+\sqrt{2}b\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow P\le\left(\sqrt{2}+1\right)\left(a+b+c\right)=\sqrt{2}+1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị
TH
1
14 tháng 9 2015
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
\(S^2=\left(1.\sqrt{1+2a}+1.\sqrt{1+2b}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(1+2a+1+2b\right)\)\(=4+4\left(a+b\right)\)
Áp dụng tiếp BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)=2\)\(\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)\(\Rightarrow S^2\le4+4\sqrt{2}\Rightarrow S\le2\sqrt{1+\sqrt{2}}\).Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
N
27 tháng 4 2019
Đề sai phải là \(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\)
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}}\left(a+b\right)\)
CMTT, có: \(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}}\left(b+c\right)\)
\(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}}\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{9}\)
17 tháng 3 2017
1) hệ <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)=1\\x+y+3\sqrt[3]{\left(x-1\right)\left(y+1\right)}\left(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{y+1}\right)=1\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3\sqrt[3]{xy}=1\\x+y+3\sqrt[3]{\left(x-1\right)\left(y+1\right)}=1\end{matrix}\right.\)
trừ vế theo vế => \(3\sqrt[3]{xy}-3\sqrt[3]{\left(x-1\right)\left(y+1\right)}=0\)
<=> xy=(x-1)(y-1) <=> x-y=1=> \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=1\\x-y=1\end{matrix}\right.\)
đặt \(\sqrt[3]{x}=a;\sqrt[3]{y}=b\)
hpt <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a^3-b^3=1\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=1-a\\2a^3-3a^2+3a-2=0\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}b=1-a\\\left(a-1\right)\left(2a^2-a+2\right)=0\end{matrix}\right.\)<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
p/s: cách làm khá dài ,có ai có cách khác thì làm luôn cho mik exp :v )
HN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 6 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2\leq (1+2a+1+2b)(1+1)=4(a+b+1)$
Tiếp tục áp dụng Bunhiacopxky:
$(a+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+1)=2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$
$\Rightarrow P^2\leq 4(\sqrt{2}+1)$
$\Rightarrow P\leq 2\sqrt{\sqrt{2}+1}$
Vậy $P_{\max}=2\sqrt{\sqrt{2}+1}$. Giá trị này đạt tại $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$
MH
25 tháng 4 2023
Đề thiếu nhé, a,b,c >0
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
\(M^2=\left(\sqrt{2a+5\sqrt{ab}+2b}+\sqrt{2b+5\sqrt{bc}+2c}+\sqrt{2c+5\sqrt{ca}+2a}\right)^2\)
\(\le3\left[4\left(a+b+c\right)+5\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\right]\)
\(\le3\left[4\left(a+b+c\right)+5\left(a+b+c\right)\right]=81\)
\(\Rightarrow M\le9\)
\(MaxM=9\Leftrightarrow a=b=c=1\)
(\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)}=a+b+c\left(Bunhiacopxki\right)\))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2022
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-2=x\ge0\\b=y\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2y+4=\left(x+2\right)y\Rightarrow xy=4\)
\(P=\dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{x+1}+\dfrac{\sqrt{y^2+2y}}{y+1}+\dfrac{1}{x+y+2}\)
\(P=\dfrac{\sqrt{2x\left(x+2\right)}}{\sqrt{2}\left(x+1\right)}+\dfrac{\sqrt{2y\left(y+2\right)}}{\sqrt{2}\left(y+1\right)}+\dfrac{1}{x+1+y+1}\)
\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{3x+2}{x+1}+\dfrac{3y+2}{y+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(3-\dfrac{1}{x+1}+3-\dfrac{1}{y+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{x+y+2}{xy+x+y+1}=\dfrac{x+y+2}{x+y+5}=1-\dfrac{3}{x+y+5}\ge1-\dfrac{3}{2\sqrt{xy}+5}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}.\dfrac{2}{3}=...\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\) hay \(\left(a;b\right)=\left(4;2\right)\)
AV
2
8 tháng 8 2016
Áp dụng bđt Bunhiacopxki :
\(A^2=\left(1.\sqrt{2a+b+1}+1.\sqrt{2b+c+1}+1.\sqrt{2c+a+1}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2a+b+1+2b+c+1+2c+a+1\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le3.3\left(a+b+c+1\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le36\Rightarrow A\le6\) (Vì A > 0)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{2a+b+1}=\sqrt{2b+c+1}=\sqrt{2c+a+1}\\a+b+c=3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng 6 tại a = b = c = 1
VD
0