Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\int\dfrac{\sin x}{9-\cos^2x}dx=\int\dfrac{\sin x}{(3- \cos x)(3+\cos x)}dx\)
\(=-\int\dfrac{1}{(3- \cos x)(3+\cos x)}d(\cos x)\)
\(=\dfrac{-1}{6}.\int[\dfrac{1}{(3- \cos x)}+\dfrac{1}{(3+ \cos x)}]d(\cos x)\)
\(=\dfrac{1}{6}.\int\dfrac{d(3-\cos x)}{(3- \cos x)}-\dfrac{1}{6}.\int\dfrac{d(3+\cos x)}{(3+ \cos x)}\)
\(=\dfrac{1}{6}.\ln\dfrac{3-\cos x}{3+\cos x}\)
\(a,\int sin2x.cosxdx=\int\dfrac{1}{2}\left[sin3x+sinx\right]dx=\dfrac{1}{2}\int sin3xdx+\dfrac{1}{2}\int sinxdx=\dfrac{-1}{6}cos3x-\dfrac{1}{2}cosx\)
a) Đặt \(u=x^2\); \(dv=2^xdx\). Khi đó \(du=2xdx\) ; \(v=\int2^xdx=\frac{2^x}{\ln2}\) và \(I_1=x^2\frac{2^x}{\ln2}-\frac{2}{\ln2}\int x2^xdx\)
Lại áp dụng phép lấy nguyên hàm từng phần cho tích phân ở vế phải bằng cách đặt :
\(u=x\) ; \(dv=2^xdx\) và thu được \(du=dx\) ; \(v=\frac{2^x}{\ln2}\) Do đó
\(I_1=x^2\frac{2^x}{\ln_{ }2}-\frac{2}{\ln2}\left[x\frac{2^x}{\ln2}-\frac{1}{\ln2}\int2^xdx\right]\)
= \(x^2\frac{2^x}{\ln_{ }2}-\frac{2}{\ln2}\left[x\frac{2^x}{\ln2}-\frac{2^x}{\ln^22}\right]+C\) = \(\left(x^2-\frac{2}{\ln2}x+\frac{2}{\ln^22}\right)\frac{2^x}{\ln2}+C\)
b) Đặt \(u=x^2\); \(dv=e^{3x}dx\)
Khi đó \(du=2xdx\) ; \(v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}\int e^{3x}d\left(3x\right)=\frac{1}{3}e^{ex}\)
Do đó:
\(I_2=\frac{x^2}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}\int xe^{3x}dx\) (a)
Lại áp dụng phép lấy nguyên hàm từng phần cho nguyên hàm ở vế phải. Ta đặt \(u=x\) ; \(dv=e^{3x}dx\)
Khi đó \(du=dx\) ; \(v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}\) và
\(\int xe^{ex}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}\)
Thế kết quả thu được vào (a) ta có :
\(I_2=\frac{x^2}{3}e^{3x}-\frac{2}{3}\left(\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}\right)+C=\frac{e^{3x}}{27}\left(9x^2-6x+2\right)+C\)
a) \(\sin^4x=\left(\sin^2x\right)^2=\left(\dfrac{1-\cos2x}{2}\right)^2\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2\cos2x+\cos^22x\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2.\cos2x+\dfrac{1+\cos4x}{2}\right)\)
\(=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\)
Vậy:
\(\int\sin^4x\text{dx}=\int\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\right)\text{dx}\)
\(=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{1}{4}\sin2x+\dfrac{1}{32}\sin4x+C\)
Bạn xem lại xem có type thiếu đề không? \((x+\frac{\pi}{6})\) có sin hay cos, tan ở phía trước không?
Xét tính chẵn lẻ:
a) TXĐ: D = R \ {π/2 + kπ| k nguyên}
Với mọi x thuộc D ta có (-x) thuộc D và
\(f\left(-x\right)=\frac{3\tan^3\left(-x\right)-5\sin\left(-x\right)}{2+\cos\left(-x\right)}=-\frac{3\tan^3x-5\sin x}{2+\cos x}=-f\left(x\right)\)
Vậy hàm đã cho là hàm lẻ
b) TXĐ: D = R \ \(\left\{\pm\sqrt{2};\pm1\right\}\)
Với mọi x thuộc D ta có (-x) thuộc D và
\(f\left(-x\right)=\frac{\sin\left(-x\right)}{\left(-x\right)^4-3\left(-x\right)^2+2}=-\frac{\sin x}{x^4-3x^2+2}=-f\left(x\right)\)
Vậy hàm đã cho là hàm lẻ
Tìm GTLN, GTNN:
TXĐ: D = R
a) Ta có (\(\left(\sin x+\cos x\right)^2=1+\sin2x\)
Với mọi x thuộc D ta có\(-1\le\sin2x\le1\Leftrightarrow0\le1+\sin2x\le2\Leftrightarrow0\le\left(\sin x+\cos x\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow0\le\left|\sin x+\cos x\right|\le\sqrt{2}\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le\sin x+\cos x\le\sqrt{2}\)
Vậy \(Min_{f\left(x\right)}=-\sqrt{2}\) khi \(\sin2x=-1\Leftrightarrow2x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\)
\(Max_{f\left(x\right)}=\sqrt{2}\) khi\(\sin2x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)
b) Với mọi x thuộc D ta có:
\(-1\le\cos x\le1\Leftrightarrow-2\le2\cos x\le2\Leftrightarrow1\le2\cos x+3\le5\)
\(\Leftrightarrow1\le\sqrt{2\cos x+3}\le\sqrt{5}\Leftrightarrow5\le\sqrt{2\cos x+3}+4\le\sqrt{5}+4\)
Vậy\(Min_{f\left(x\right)}=5\) khi \(\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi\)
\(Max_{f\left(x\right)}=\sqrt{5}+4\) khi \(\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi\)
c) \(y=\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x\cos^2x\)\(=1-\frac{1}{2}\left(2\sin x\cos x\right)^2=1-\frac{1}{2}\sin^22x\)
Với mọi x thuộc D ta có: \(0\le\sin^22x\le1\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le-\frac{1}{2}\sin^22x\le0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le1-\frac{1}{2}\sin^22x\le1\)
Đến đây bạn tự xét dấu '=' xảy ra khi nào nha :p