Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=ab\left(a^4-b^4\right)=ab\left(a^4-1-\left(b^4-1\right)\right)=b\left(a^5-a\right)-a\left(b^5-b\right)\)
Ta sẽ chứng minh \(x^5-x\)chia hết cho \(30\)với \(x\)nguyên.
Ta có:
\(x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)\)
\(=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)+5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
Có: \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)là tích của \(5\)số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho \(2,3,5\)mà \(2,3,5\)đôi một nguyên tố cùng nhau nên nó chia hết cho \(2.3.5=30\)
\(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)là tích của \(3\)số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho \(2,3\)mà \(2,3\)nguyên tố cùng nhau nên nó chia hết cho \(2.3=6\)suy ra \(5x\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮30\)
suy ra \(x^5-x⋮30\)với \(x\)nguyên.
Do đó \(A=ab\left(a^4-b^4\right)=ab\left(a^4-1-\left(b^4-1\right)\right)=b\left(a^5-a\right)-a\left(b^5-b\right)\)chia hết cho \(30\)với \(a,b\)là số nguyên.
a.
Do \(x^2;y^2\) là các số chính phương nên chia cho 4 dư 0 hoặc 1 nên \(x^2-y^2\) chia 4 dư 0;1;3 mà \(1998\) chia 4 dư 2 nên PT vô nghiệm.
b.
Do \(x^2;y^2\) là các số chính phương nên chia cho 4 dư 0 hoặc 1 nên \(x^2+y^2\) chia 4 dư 0;1;2 mà \(1999\) chia 4 dư 3 nên PT vô nghiệm
#)Giải :
VD1:
a) Ta thấy x2,y2 chia cho 4 chỉ dư 0,1
nên x2 - y2 chia cho 4 có số dư là 0,1,3. Còn vế phải chia cho 4 có số dư là 2
=> Phương trình không có nghiệm nguyên
b) Ta thấy x2 + y2 chia cho 4 có số dư là 0,1,2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3
=> Phương trình không có nghiệm nguyên
\(x^2+y^2-x-y=8\)
\(\Rightarrow4x^2+4y^2-4x-4y=32\)
\(\Rightarrow\left(4x^2-4x+1\right)+\left(4y^2-4y+1\right)=34\)
\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^2+\left(2y-1\right)^2=34=5^2+3^2=3^2+5^2\)
\(TH1:\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2=3^2\\\left(2y-1\right)^2=5^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}}}\)
\(TH2:\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2=5^2\\\left(2y-1\right)^2=3^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}}}\)
Vậy.......
Mọi người check thử ạ! Cách lớp 9 :v. Cách này phức tạp lắm, em vẫn thích cách bạn zZz Cool Kid zZz hơn, cách này làm để cho nó hack não cho vui:)
Viết lại thành phương trình bậc 2 đối với x:\(x^2-x+\left(y^2-y-8\right)=0\) (1)
Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta=\left(-1\right)^2-4\left(y^2-y-8\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4y^2+4y+33\ge0\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{34}}{2}\le y\le\frac{1+\sqrt{34}}{2}\)
Do y nguyên nên \(-2\le y\le3\). Thay vào (1) và giải phương trình bậc hai đối với x.
#)Giải :
VD1:
Với \(\orbr{\begin{cases}x>0\\x< -1\end{cases}}\)ta có :
\(x^3< x^3+x^2+x+1< \left(x+1\right)^3\)
\(\Rightarrow x^3< y^3< \left(x+1\right)^3\)( không thỏa mãn )
\(\Rightarrow-1\le x\le0\)
Mà \(x\in Z\Rightarrow x\in\left\{-1;0\right\}\)
Với \(\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=1\end{cases}}}\)
Vậy...........................
#)Giải :
VD2:
\(x^4-y^4+z^4+2x^2z^2+3x^2+4z^2+1=0\)
\(\Leftrightarrow y^4=x^4+z^4+2x^2z^2+3x^2+4z^2+1\)
\(\Leftrightarrow y^4=\left(x^2+y^2\right)+3x^2+4z^2+1\)
Ta dễ nhận thấy : \(\left(x^2+y^2\right)^2< y^4< \left(x^2+y^2+2\right)^2\)
Do đó \(y^4=\left(x^2+y^2+1\right)^2\)
Thay vào phương trình, ta suy ra được \(x=z=0\)
\(\Rightarrow y=\pm1\)
Bạn thông cảm, mình phải sử dụng cách của lớp 9 vậy :))
\(2x^2+8x=67-3y^2\Leftrightarrow2x^2+8x+\left(3y^2-67\right)=0\)\(\left(x,y>0\right)\)
Xét \(\Delta'=16-2.\left(3y^2-67\right)=-6y^2+150\)
Để phương trình có nghiệm thì \(0\le\Delta'\le150\)
\(\Rightarrow0< y\le5\)(Vì x,y nguyên dương)
Do đó ta xét y trong khoảng trên, được :
1. Với y = 1 suy ra phương trình : \(2x^2+8x-64=0\Leftrightarrow x^2+4x-32=0\Rightarrow x=4\)(Nhận ) hoặc \(x=-8\)( Loại)
2. Với y = 2 suy ra phương trình : \(2x^2+8x-55=0\Rightarrow x=\frac{-4+3\sqrt{14}}{2}\)(Loại) hoặc \(x=\frac{-4-3\sqrt{14}}{2}\)(Loại)
3. Với y = 3 suy ra phương trình : \(2x^2+8x-40=0\Leftrightarrow x^2+4x-20=0\Rightarrow x=-2+2\sqrt{6}\)(loại) hoặc \(x=-2-2\sqrt{6}\)(Loại)
4. Với y = 4 suy ra phương trình : \(2x^2+8x-19=0\Rightarrow x=\frac{-4+3\sqrt{6}}{2}\)(Loại) hoặc \(x=\frac{-4-3\sqrt{6}}{2}\)(Loại)
5. Với y = 5 suy ra phương trình : \(2x^2+8x+8=0\Leftrightarrow x^2+4x+4=0\Rightarrow x=-2\)(Loại)
Vậy kết luận : Tập nghiệm của phương trình là : \(\left(x;y\right)=\left(4;1\right)\)
Có x6+3x2+1=y3>x6x6+3x2+1=y3>x6 (1)(1)
x6+3x2+1=y3\leqx6+3x4+3x2+1=(x2+1)3(2)x6+3x2+1=y3\leqx6+3x4+3x2+1=(x2+1)3(2)
(1);(2)(1);(2) suy ra x6+3x2+1=(x2+1)3x6+3x2+1=(x2+1)3 suy ra x=0;y=1