Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/
\(A=\frac{n^2\left(n^2+2\right)+3n\left(n^2+2\right)-2}{n^2+2}=n^2+3n-\frac{2}{n^2+2}\)
A nguyên => \(\frac{2}{n^2+2}\) nguyên \(\Rightarrow n^2+2\in\text{Ư}\left(2\right)=\left\{-1;1;2;-2\right\}\)
Do \(n^2+2\ge2\) nên \(n^2+2=2\Leftrightarrow n=0\)
Vậy n = 0 thì A nguyên.
b/ Ta chứng minh \(B=n^5-n+2\) không là số chính phương với mọi n.
Xét \(M=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Nhận xét: n và n+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên tích của chứng chia hết cho 2 => M⋮2
+Nếu n⋮5 thì M⋮5.
+Nếu n chia 5 dư 1 thì (n-1)⋮5 => M⋮5.
+Nếu n chia 5 dư 2 thì n2 chia 5 dư 4 => (n2+1)⋮5 => M⋮5.
+Nếu n chia 5 dư 3 thì n2 chia 5 dư 9 tức dư 4 => (n2+1)⋮5 => M⋮5
+Nếu n chia 5 dư 4 thì (n+1)⋮5 => M⋮5
Vậy M⋮5
Suy ra M⋮10 với mọi số tự nhiên n
=> M có tận cùng là 0.
=> B = M+2 có tận cùng là 2.
Mà số chính phương chỉ có tận cùng là 0; 1; 4; 6; 9
=> B không phải là số chính phương với mọi n.
Tôi cũng là của FC Real Madrid ở Hà Nam.
Chúng mình kết bạn nhé.hihi.
Câu 1 bạn dùng chia hết cho 13
Câu 2 bạn cộng cả 2 vế với z^4 rồi dùng chia 8
Câu 3 bạn đặt a^4n là x thì x sẽ chia 5 dư 1 và chia hết cho 4 hoăc chia 4 dư 1
Khi đó ta có x^2+3x-4=(x-1)(x+4)
đến đây thì dễ rồi
Câu 4 bạn xét p=3 p chia 3 dư 1 p chia 3 dư 2 là ra
Câu 6 bạn phân tích biểu thức của đề thành nhân tử có nhân tử x-2
Câu 5 mình nghĩ là kẹp giữa nhưng chưa ra
Trước hết ta chứng minh BĐT
\(\frac{2k-1}{2k}< \frac{\sqrt{3k-2}}{\sqrt{3k+1}}\left(1\right)\)
Thật vậy, (1) \(\Leftrightarrow\left(2k-1\right)\sqrt{3k+1}< 2k\sqrt{3k-2}\)\(\Leftrightarrow\left(4k^2-4k+1\right)\left(3k+1\right)< 4k^2\left(3k-2\right)\)
\(\Leftrightarrow12k^3-8k^2-k+1< 12k^3-8k^2\)\(\Leftrightarrow k-1>0\left(\forall k\ge2\right)\)
Trong (1), lần lượt thay k bằng 1,2,...,n ta được:
\(\frac{1}{2}\le\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}},\frac{3}{4}\le\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}},....,\frac{2n-1}{2n}< \frac{\sqrt{3n-2}}{\sqrt{3n+1}}\)
Nhân từng vế các BĐT trên ta có:
\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}....\frac{2n-1}{2n}< \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}.\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}}...\frac{\sqrt{3n-2}}{\sqrt{3n+1}}=\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\)