Question

[Trần Minh Hiển]

Tìm n ∈N* để \(n^{2003}+n^{2002}+1\)là số nguyên tố

Answer 1

[bảo nam trần]

Đặt A=n^2003+n^2002+1

Xét n=0 thì A=1 không phải số nguyên tố (loại)

Xét n=1 thì A=3 là nguyên tố (TM)

Xét n>1, \(A=n^{2003}-n^2+n^{2002}-n+n^2+n+1\)

\(=n^2\left[\left(n^3\right)^{667}-1\right]+n\left[\left(n^3\right)^{667}-1\right]+\left(n^2+n+1\right)\)

Vif \(\left(n^3\right)^{667}-1⋮n^3-1\Rightarrow\left(n^3\right)^{667}-1⋮n^2+n+1\)

=> \(A⋮n^2+n+1>1\)

Do đó A là hợp số

Vậy n=1

Answer 2

[Nguyễn Trần Hoàng]

A=n2012+n2002+1A=n2012+n2002+1

⇔A=n2012−n2+n2002−n+n2+n+1⇔A=n2012−n2+n2002−n+n2+n+1

⇔A=n2[(n3)670−1]+n[(n3)667−1]+n2+n+1⇔A=n2[(n3)670−1]+n[(n3)667−1]+n2+n+1

⇔A=(n3−1).x+(n3−1).y+n2+n+1⇔A=(n3−1).x+(n3−1).y+n2+n+1

⇔A=(n2+n+1)(x′+y′+1)⇔A=(n2+n+1)(x′+y′+1)

n=1→A=3n=1→A=3 ( thỏa mãn )

n>1→An>1→A không là số nguyên tố do AA là tích của hai số tư nhiên khác một