Question

[Phan Đăng Hào]

Tìm mọi số tự nhiên n sao cho:

1. 10ⁿ-1 ⋮81

2. 10ⁿ-1⋮121

Answer 1

[Akai Haruma]

2.

Để $10^n-1\vdots 121$ thì trước tiên $10^n-1\vdots 11$ hay $10^n-1\equiv 0\pmod 11$

Mà: $10^n-1\equiv (-1)^n-1\pmod 11$ nên $n$ chẵn.

Đặt $n=2k$ với $k$ tự nhiên.

Ta có:
$10^n-1=10^{2k}-1=100^k-1$

$=99(100^{k-1}+100^{k-2}+...+1)$

Để $10^n-1$ chia hết cho $121=11^2$ thì:

$100^{k-1}+100^{k-2}+...+1\equiv 0\pmod 11$

Mà:

$100^{k-1}+100^{k-2}+...+1\equiv 1+1+...+1\equiv k\pmod 11$

Do đó: $k\equiv 0\pmod 11$

Hay $k=11t$ với $t$ tự nhiên

Vậy $n=22t$ với $t$ là số tự nhiên.

Answer 2

[Akai Haruma]

1.

$10^n-1=(10-1)(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1)$

$=9(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1)$

Để $10^n-1$ chia hết cho $81$ thì $10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1\equiv 0\pmod 9$

Mà:

$10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1\equiv 1+1+...+1\equiv n\pmod 9$

Do đó, để $10^n-1$ chia hết cho $81$ thì $n\equiv 0\pmod 9$ hay $n\vdots 9$