Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu a. Giả sử có m thỏa mãn đề bài, khi đó sẽ có số \(a\ge0\)để \(\sqrt{1-x^2}=a\)hay \(1-x^2=a^2\)
Suy ra: \(x^2=1-a^2\).
Nếu a > 1 thì không có x thỏa mãn.
Nếu a = 1 thì x = 0 ( duy nhất).
Nếu \(0\le a< 1\)thì \(x=\sqrt{1-a^2}\)hoặc \(x=-\sqrt{1-a^2}\). Rõ ràng hai giá trị này là phân biệt.
Vậy chỉ khi a = 1 thì x = 0 duy nhất. Khi đó m = 3 .
Ngược lại thay m = 3 vào phương trình ta có: \(\sqrt{1-x^2}+2\sqrt[3]{1-x^2}=3.\)
Đặt \(1-x^2=a^6\), thay vào phương trình ban đầu ta có:
\(a^3+2a^2=3\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2-a+3\right)=0\)
Vậy a = 1 hay \(1-x^2=1\)suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất.
Câu b ta đặt: \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=a\)sau đó bình phương hai vế lên ta được 1 phương trình bậc hai theo tham số a.
Dùng điều kiện \(\Delta=0\)ta sẽ tìm được a.
\(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2m\sqrt{x\left(1-x\right)}-2\sqrt[4]{x\left(1-x\right)}=m^3\)
Ta nhận thấy nếu \(x_0\) là nghiêm của phương trình thì \(1-x_0\) cũng là nghiệm. Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(x_0=1-x_0\to x_0=\frac{1}{2}\to m=\sqrt[4]{\frac{1}{2}}+\sqrt[4]{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}=2\sqrt[4]{\frac{1}{2}}+2\sqrt{\frac{1}{2}}\)
Vậy \(m=\sqrt[4]{8}+\sqrt{2}.\)
\(\sqrt{4-\left(2-x\right)+\sqrt{2-x}}+\sqrt{4-x-\sqrt{x}}=m\) (1)
- Xét điều kiện cần:
Giả sử phương trình có nghiệm \(x_0\) tức là:
\(\sqrt{4-\left(2-x_0\right)+\sqrt{2-x_0}}+\sqrt{4-x_0+\sqrt{x_0}}=m\) (2)
Thì ta thấy phương trình cũng có nghiệm \(x=2-x_0\), thực vậy, thay \(x=2-x_0\) vào (1) ta được:
\(\sqrt{4-\left(2-\left(2-x_0\right)\right)+\sqrt{2-\left(2-x_0\right)}}+\sqrt{4-\left(2-x_0\right)-\sqrt{2-x_0}}=m\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4-x_0+\sqrt{x_0}}+\sqrt{4-\left(2-x_0\right)+\sqrt{2-x_0}}=m\) (thỏa mãn (2))
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì: \(x_0=2-x_0\Rightarrow x_0=1\)
Thay \(x_0=1\) vào (2) ta được: \(m=4\)
- Điều kiện đủ: khi \(m=4\) phương trình trở thành:
\(\sqrt{x+2+\sqrt{2-x}}+\sqrt{4-x+\sqrt{x}}=4\)
Áp dụng BĐT Bunhia cho vế trái:
\(VT\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(6+\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\right)}=\sqrt{2\left(6+\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\sqrt{2\left(6+\sqrt{\left(1+1\right)\left(x+2-x\right)}\right)}=\sqrt{2\left(6+2\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2-x\\x+2+\sqrt{2-x}=4-x+\sqrt{x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=1\)
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\) khi \(m=4\)
1/ \(x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=x+\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}}\)
\(=x+\sqrt{\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=x+\left|\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right|=\left(x+\frac{1}{4}\right)+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}\)
\(=\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow m=\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2\)
Để pt trên có nghiệm thì \(\hept{\begin{cases}m>0\\\sqrt{m}-\frac{1}{2}\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m\ge\frac{1}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow m\ge\frac{1}{4}\)
Vậy với \(m\ge\frac{1}{4}\) thì pt trên có nghiệm.
Phương trình trên chỉ có một nghiệm thôi nhé, đó là \(x=m-\sqrt{m}\) với \(m\ge\frac{1}{4}\)