Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(cos3x=2cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)-1\)
\(\Leftrightarrow cos3x=cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=x-\frac{\pi}{3}+k2\pi\\3x=\frac{\pi}{3}-x+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
Bên dưới thì đơn giản thôi, bạn chia 2 vế cho 2 là ra cái dấu tương đương đó chứ gì nữa
Lưu ý quan trọng của pt lượng giác (cặp số 1 và \(\sqrt{3}\) xuất hiện rất thường xuyên):
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{2}=sin\frac{\pi}{3}=cos\frac{\pi}{6}\\\frac{1}{2}=sin\frac{\pi}{6}=cos\frac{\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
Do đó có 2 cách biến đổi tùy thích sử dụng các công thức sau:
\(sina.cosb+cosa.sinb=sin\left(a+b\right)\) (1)
\(sina.cosb-cosa.sinb=sin\left(a-b\right)\) (2)
\(cosa.cosb-sina.sinb=cos\left(a+b\right)\) (3)
\(cosa.cosb+sina.sinb=cos\left(a-b\right)\) (4)
Cụ thể với bài bạn hỏi, có 2 cách thay giá trị:
\(sinx.\frac{1}{2}-cosx.\frac{\sqrt{3}}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow sinx.cos\frac{\pi}{3}-cosx.sin\frac{\pi}{3}=0\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=0\) (thay công thức 2)
Hoặc sử dụng cos:
\(sinx.\frac{1}{2}-cosx.\frac{\sqrt{3}}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow sinx.sin\frac{\pi}{6}-cosx.cos\frac{\pi}{6}=0\)
\(\Leftrightarrow cosx.cos\frac{\pi}{6}-sinx.sin\frac{\pi}{6}=0\) (nhân 2 vế với -1)
\(\Leftrightarrow cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0\) (sử dụng công thức (3))
\(M=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(2cos^2\frac{x}{2}-1\right)}}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{cos^2\frac{x}{2}}}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{cos^2\frac{x}{4}}}\) (tách tương tự như trên)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{4}}=\sqrt{cos^2\frac{x}{8}}=cos\frac{x}{8}\)
\(\Rightarrow n=8\)
1. \(4\cos^2x-6\sin^2x+5\sin2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow4\cos^2x-6\sin^2x+10\sin x\cos x-4\left(\cos^2x+\sin^2x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow10\sin x\cos x-10\sin^2x=0\)
\(\Leftrightarrow10\sin x\left(\cos x-\sin x\right)=0\)
2. \(\sqrt{3}\cos^2x+2\sin x\cos x-\sqrt{3}\sin^2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}\cos^2x+\sin x\cos x\right)+\left(\sin x\cos x-\sqrt{3}\sin^2x\right)-1=0\)
\(\Leftrightarrow2\cos x\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x\right)+2\sin x\left(\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)-1=0\)
\(\Leftrightarrow2\cos x.\cos\left(\dfrac{\Pi}{6}-x\right)+2\sin x.\sin\left(\dfrac{\Pi}{6}-x\right)-1=0\)
\(\Leftrightarrow\cos\dfrac{\Pi}{6}+\cos\left(2x-\dfrac{\Pi}{6}\right)+\cos\left(2x-\dfrac{\Pi}{6}\right)-\cos\dfrac{\Pi}{6}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\cos\left(2x-\dfrac{\Pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}\)
3. \(2\sin^22x-3\sin2x\cos2x+\cos^22x=2\)
\(\Leftrightarrow2\sin^22x-3\sin2x\cos2x+\cos^22x-2\left(\sin^22x+\cos^22x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3\sin2x\cos2x+\cos^22x=0\)
\(\Leftrightarrow\cos2x\left(3\sin2x+\cos2x\right)=0\)
-TH1: ...
- TH2: \(\cos2x=-3\sin2x\) mà \(\cos^22x+\sin^22x=1\) suy ra ...
4. \(4\cos^2\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\sin x+3\sin^2\dfrac{x}{2}=3\)
\(\Leftrightarrow4\cos^2\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\sin x+3\sin^2\dfrac{x}{2}-3\left(\cos^2\dfrac{x}{2}+\sin^2\dfrac{x}{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\cos^2\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1+\cos x}{2}+\dfrac{1}{2}\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow\cos x+\sin x=-1\)
Đặt \(sinx=a\) (\(-1\le a\le1\) ) \(\Rightarrow2a^2-\left(5m+1\right)a+2m^2+2m=0\) (1)
Để pt đã cho có đúng 5 nghiệm thuộc \(\left(-\frac{\pi}{2};3\pi\right)\) ta có 2 trường hợp sau:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}a_1=1\\-1< a_2\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2-5m-1+2m^2+2m=0\Leftrightarrow2m^2-3m+1=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\Rightarrow a_2=\frac{2m^2+2m}{2}=2\left(l\right)\\m=\frac{1}{2}\Rightarrow a_2=\frac{3}{4}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a_1=-1\\0< a_2< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2+5m+1+2m^2+2m=0\Rightarrow2m^2+7m+3=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\Rightarrow a_2=-6\left(l\right)\\m=-\frac{1}{2}\Rightarrow a_2=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m=-\frac{1}{2}\)
Đáp án C