Question

[Nguyễn Thị Hà Uyên]

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm :

\(\begin{cases}x-y+m=0\left(1\right)\\y+\sqrt{xy}=2\left(2\right)\end{cases}\)

Answer 1

[Mai Nguyên Khang]

Từ (2) suy ra \(\begin{cases}2-y\ge0\\x=\frac{y^2-4y+4}{y}\end{cases}\)

Lúc đó (1) có \(\frac{y^2-4y+4}{y}-y+m=0\Leftrightarrow m=\frac{4y-4}{y}\Leftrightarrow g\left(m\right)=f\left(y\right)\)

Xét hàm số \(f\left(y\right)=\frac{4y-4}{y}\)

- Miền xác định \(D=\left(-\infty;2\right)\)/\(\left\{0\right\}\)

- Đạo hàm \(f'\left(y\right)=\frac{4}{y^2}>0\) Hàm số đồng biến trên D

- Giới hạn 

                      \(\lim\limits_{y\rightarrow-\infty}f\left(y\right)=4\)

                        \(\lim\limits_{y\rightarrow0^+}f\left(y\right)=-\infty\)

                        \(\lim\limits_{y\rightarrow0^-}f\left(y\right)=+\infty\)

Bảng biến thiên 

x	-\(\infty\)                                       0                                                 2
y'	+                   //                   +
y	4                               +\(\infty\)  //  -\(\infty\)                                       2

Answer 2

[Mai Nguyên Khang]

Vậy để hệ có nghiệm  : \(m\in\left(-\infty;2\right)\cup\left(4,+\infty\right)\)