Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hàm số đương nhiên xác định với mọi x, hình như bạn ghi nhầm đề ở đâu đó
Lời giải:
\(y=\cos ^4x+\sin ^4x=(\cos ^2x+\sin ^2x)^2-2\cos ^2x\sin ^2x\)
\(=1-2(\sin x\cos x)^2\leq 1\) do \((\sin x\cos x)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\)
Do đó chọn đáp án B.
1/ Để hàm số y = √cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: cos^2(x) + cos(x ) - 2m + 1 > 0 Để giải phương trình này, ta sử dụng một số phép biến đổi: cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 = (cos(x) + 2)(cos(x) - m + 1) Điều kiện để biểu thức trên dương là: cos(x) + 2 > 0 và cos(x) - m + 1 > 0 Với cos(x) + 2 > 0, ta có -2 < cos( x) < 0 Với cos(x) - m + 1 > 0, ta có m - 1 < cos(x) < 1 Tổng Hàm, để hàm số y = √cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 xác định trên R, tham số m phải đáp ứng điều kiện -2 < cos(x) < 0 và m - 1 < cos(x) < 1. 2/ Để hàm số y = √cos^2(x) - 2cos(x) + m xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: cos^2(x) - 2cos(x) + m > 0 Đây là một phương trình bậc hai theo cos(x). Để giải phương trình này, ta sử dụng công thức delta: Δ = b^2 - 4ac Ở đây, a = 1, b = -2, c = m. Ta có: Δ = (-2)^2 - 4(1)(m) = 4 - 4m = 4(1 - m) Để phương trình có nghiệm thì Δ > 0. Tức là 1 - m > 0 hay m < 1. Tổng quát, để hàm số y = √cos^2(x) - 2cos(x) + m xác định trên R, tham số m phải đáp ứng m < 1. 3/ Để hàm số y = √sin^ 4 (x) + cos^4(x) - sin^2(x) - m xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: sin^4(x) + cos^4(x) - sin ^2(x) - m > 0 Đây cũng là một phương trình bậc hai theo sin(x). Ta sử dụng công thức delta as on, with a = 1, b = -1, c = -m. Δ = (-1)^2 - 4(1)(-m) = 1 + 4m = 4m + 1 Để phương trình có nghiệm thì Δ > 0. Tức là m > -1/4. Tổng quát, để hàm số y = √sin^4(x) + cos^4(x) - sin^2(x) - m xác định trên R, tham số m phải thỏa mãn m > -1/4.
Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.
Từ đó suy ra f'(x)=0
a) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
b) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
c) f(x)=\(\frac{1}{4}\)(\(\sqrt{2}\)-\(\sqrt{6}\))=>f'(x)=0
d,f(x)=\(\frac{3}{2}\)=>f'(x)=0
2. ĐKXĐ:
a. \(\left\{{}\begin{matrix}cosx\ne0\\2-cosx+tan^2x\ge0\left(luôn-đúng\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\)
(BPT dưới luôn đúng do \(\left\{{}\begin{matrix}tan^2x\ge0\\2-cosx>0\end{matrix}\right.\) với mọi x)
b. \(sin2x-sinx+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(sin2x+2\right)+\left(1-sinx\right)\ge0\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}sin2x\ge-1\\sinx\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sin2x+2>0\\1-sinx\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) BPT luôn thỏa mãn hay hàm số xác định trên R
1.
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=sin^4x+cos^4x-2m.sinx.cosx\ge0\) ;\(\forall x\in R\)
\(f\left(x\right)=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2x.cos^2x-2m.sinx.cosx\)
\(=-\frac{1}{2}sin^22x-m.sin2x+1\)
Đặt \(sin2x=t\Rightarrow\left|t\right|\le1\)
\(f\left(t\right)=-\frac{1}{2}t^2-mt+1\ge0\) ; \(\forall t\in\left[-1;1\right]\)
\(\Leftrightarrow\min\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(t\right)\ge0\)
\(a=-\frac{1}{2}< 0\Rightarrow\min\limits f\left(t\right)\) xảy ra tại 1 trong 2 đầu mút
\(f\left(-1\right)=m+\frac{1}{2}\) ; \(f\left(1\right)=\frac{1}{2}-m\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}-m\\\frac{1}{2}-m\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m\le\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le m\le\frac{1}{2}\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{2}-m\ge m+\frac{1}{2}\\m+\frac{1}{2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\m\ge-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-\frac{1}{2}\le m\le\frac{1}{2}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|sinx\right|\le1\\\left|cosx\right|\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sin^{4034}x\le sin^2x\\cos^{4038}x\le cos^2x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow sin^{4034}x+cos^{4038}x< sin^2x+cos^2x=1\) (dấu = ko xảy ra)
\(\Rightarrow\left|sin^{2017}x-cos^{2019}x\right|< \sqrt{\left(1+1\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow sin^{2017}x-cos^{2019}x+\sqrt{2}>0\) \(\forall x\)
Vậy để hàm số xác định với mọi x trên đoạn đã cho
\(\Rightarrow m-sinx-cosx-2sinx.cosx\ge0\) \(\forall x\)
\(\Leftrightarrow sinx+cosx+2sinx.cosx\le m\)
Đặt \(sinx+cosx=t\Rightarrow2sinx.cosx=t^2-1\) \(\left(-1\le t\le\sqrt{2}\right)\)
\(\Rightarrow t^2+t-1\le m\Rightarrow m\ge\max\limits_{\left[-1;\sqrt{2}\right]}\left(t^2+t-1\right)=\sqrt{2}+1\)
Vậy \(m\ge\sqrt{2}+1\)
Sử dụng Bunhiacopxki thôi:
\(\left(sin^{2017}x-cos^{2019}x\right)^2\le\left(1+1\right)\left(sin^{4034}x+cos^{4038}x\right)< 2\left(sin^2x+cos^2x\right)=2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{2}< sin^{2017}x-cos^{2019}x< \sqrt{2}\)
BĐT bên trái chuyển vế cho ta: \(sin^{2017}x-cos^{2019}x+\sqrt{2}>0\)
để hàm số xác định với mọi x thuộc R thì
\(2m\cos^2x+\left(2-m\right)\cos x+4m-1\ge0\Leftrightarrow m\left(2cos^2x-cosx+4\right)\ge1-2cosx\)
mà \(2cos^2x-cosx+4>0\) nên :
\(m\ge\frac{1-2cosx}{2cos^2x-cosx+4}\)\(\Leftrightarrow\)\(m\ge max\left(\frac{1-2cosx}{2cos^2x-cosx+4}\right)=\frac{3}{7}\)
vậy điều kiện của m là : \(m\ge\frac{3}{7}\)
Để hàm số xác định \(\forall x\in R\Leftrightarrow sin^4x+cos^4x-2msinx.cosx\ge0\) \(\forall x\)
Ta có:
\(sin^4x+cos^4x-2msinx.cosx=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2\left(sinx.cosx\right)^2-m.sin2x\)
\(=1-2\left(\frac{1}{2}sin2x\right)^2-msin2x=-\frac{1}{2}sin^22x-msin2x+1\)
Xét \(f\left(t\right)=-\frac{1}{2}t^2-mt+1\) với \(t\in\left[-1;1\right]\)
\(f\left(-1\right)=\frac{1}{2}+m\) ; \(f\left(1\right)=\frac{1}{2}-m\)
Để \(f\left(t\right)\ge0\) \(\forall t\in\left[-1;1\right]\Rightarrow\min\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(t\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)\ge0\\f\left(1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge-\frac{1}{2}\\m\le\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{1}{2}\le m\le\frac{1}{2}\)
bạn ơi mình hỏi sao lại chỉ xét f(1) vs f(-1) vậy