Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hai điểm cực trị của \(\left(C_1\right)\) là : \(A\left(0;3\right);B\left(2;-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2;-4\right)\)
Phương trình AB : \(2x+y-3=0\)
Ta có : \(y'=3x^2-6mx+3\left(m-1\right)\)
\(x_0=1\Rightarrow y_0=2m-1;y'\left(x_0\right)=-3m\)
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta:y=-3m\left(x-1\right)+2m-1\)
hay \(3mx+y-5m+1=0\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\cos\left(AB;\Delta\right)=\cos60^0=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|6m+1\right|}{\sqrt{5\left(9m^2+1\right)}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow4\left(6m+1\right)^2=5\left(9m^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow99m^2+48m-1=0\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{-8\pm5\sqrt{3}}{33}\) là những giá trị cần tìm
Hàm không có tiệm cận đứng khi: \(x^2-\left(2m+3\right)x+2\left(m-1\right)=0\) có nghiệm \(x=2\)
\(\Rightarrow4-2\left(2m+3\right)+2\left(m-1\right)=0\)
\(\Rightarrow m=-2\)
Ta có \(\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của đường thẳng d
\(y'=3x^2-2\left(m+2\right)x+m-1\Rightarrow y'\left(1\right)=3-2m-4+m-1=-m-2\)
Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ bằng 1. Suy ra phương trình của \(\Delta\) có dạng \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)\)
Do đó \(\overrightarrow{n}=\left(m+2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của \(\Delta\)
Theo đề bài ta có : \(\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\cos30^0\Rightarrow\frac{\left|\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|2\left(m+2\right)+1\right|}{\sqrt{5}\sqrt{\left(m+2\right)^2+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow m^2+20m+25=0\)
\(\Leftrightarrow m=-10\pm5\sqrt{3}\)
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Nguyễn Dân Lập - Toán lớp 12 | Học trực tuyến
\(y'=3x^2-2\left(m+1\right)x-\left(2m^2-3m+2\right)\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2+3\left(2m^2-3m+2\right)=7\left(m^2+m+1\right)>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow y'=0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bài toán thỏa mãn khi: \(x_1< x_2\le2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\ge0\\x_1+x_2< 4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-\left(2m^2-3m+2\right)}{3}-\dfrac{4\left(m+1\right)}{3}+4\ge0\\\dfrac{2\left(m+1\right)}{3}< 4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m^2-m+6\ge0\\m< 5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-2\le m\le\dfrac{3}{2}\)
Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$
$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$
$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$
Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$
Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$
$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu
$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại
$BO=\sqrt{2}AO$
$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$
$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$
$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$
1.
\(y'=4x^3-4\left(m+1\right)x\)
\(y''=12x-4\left(m+1\right)\)
Hàm đạt cực đại tại x=1 khi: \(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(1\right)=0\\y''\left(1\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-4\left(m+1\right)=0\\12-4\left(m+1\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m>2\end{matrix}\right.\)
Không tồn tại m thỏa mãn
2.
\(y'=4x^3-2\left(m+1\right)x\)
\(y''=12x^2-2\left(m+1\right)\)
Hàm đạt cực tiểu tại x=-1 khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(-1\right)=0\\y''\left(-1\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4+2\left(m+1\right)=0\\12-2\left(m+1\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m< 5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=1\)
Ta có : \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) tiếp xúc nhau <=> hệ phương trình sau có nghiệm :
\(\begin{cases}mx^3+\left(1-2m\right)x^2+2mx=3mx^3+3\left(1-2m\right)x+4m-2\\3mx^2+2\left(1-2m\right)x+2m=9mx^2+3\left(1-2m\right)\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}2mx^3-\left(1-2m\right)x^2+\left(3-8m\right)x+4m-2=0\left(1\right)\\6mx^2-2\left(1-2m\right)x+3-8m=0\left(2\right)\end{cases}\)
Ta có : \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2mx^2-\left(1-4m\right)x+4m+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\2mx^2-\left(1-4m\right)x-4m+2=0\end{array}\right.\)
* Với \(x=1\) thay vào (2), ta có \(m=\frac{1}{2}\)
* Với \(2mx^2-\left(1-4m\right)x-4m+2=0\) (*) ta có :
\(\left(2\right)\Leftrightarrow4mx^2-x+1-4m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=\frac{1-4m}{4m}\end{array}\right.\) (\(m\ne0\) vì m = 0 hệ vô nghiệm)
Thay \(x=\frac{1-4m}{4m}\) vào (*) ta được :
\(\frac{\left(1-4m\right)^2}{8m}-\frac{\left(1-4m\right)^2}{4m}+2-4m=0\)
\(\Leftrightarrow48m^2-24m+1=0\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{3\pm\sqrt{6}}{12}\)
Vậy \(m=\frac{3\pm\sqrt{6}}{12};m=\frac{1}{2}\)