K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HT
21 tháng 3 2021
Đang học Lý mà thấy bài nguyên hàm hay hay nên nhảy vô luôn :b
\(I_1=\int\limits^1_0xf\left(x\right)dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=\dfrac{1}{2}x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\int xf\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}x^2f\left(x\right)-\dfrac{1}{2}\int x^2f'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0xf\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}x^2|^1_0-\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{3}{10}\Rightarrow\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{3}{5}\)
Đoạn này hơi rối xíu, ông để ý kỹ nhé, nhận thấy ta có 2 dữ kiện đã biết, là: \(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{9}{5}and\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{3}{5}\) có gì đó liên quan đến hằng đẳng thức, nên ta sẽ sử dụng luôn
\(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)+tx^2\right]^2dx=0\)
\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx+2t\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx+t^2\int\limits^1_0x^4dx=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{5}+\dfrac{6}{5}t+\dfrac{1}{5}t^2=0\) \(\left(\int\limits^1_0x^4dx=\dfrac{1}{5}x^5|^1_0=\dfrac{1}{5}\right)\)\(\)\(\Leftrightarrow t=-3\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)-3x^2\right]^2dx=0\)
\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3x^2\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^3+C\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0x^3dx=\dfrac{1}{4}x^4|^1_0=\dfrac{1}{4}\)
P/s: Có gì ko hiểu hỏi mình nhé !
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 1 2018
Câu 1:
Ta có \(I_1=\int ^{1}_{0}\frac{4x+2}{x^2+x+1}dx=2\int ^{1}_{0}\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx\)
\(=2\int ^{1}_{0}\frac{d(x^2+x+1)}{x^2+x+1}=2.\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\ln |x^2+x+1|=2\ln 3\)
Câu 2:
\(I_2=\int ^{1}_{0}\frac{4x+1}{(2-x)^4}dx=\int ^{1}_{0}\frac{4(x-2)+9}{(2-x)^4}dx\)
\(=4\int ^{1}_{0}\frac{dx}{(x-2)^3}+9\int \frac{dx}{(2-x)^4}=4\int ^{1}_{0}\frac{d(x-2)}{(x-2)^3}-9\int ^{1}_{0}\frac{d(2-x)}{(2-x)^4}\)
\(=4\int ^{-1}_{-2}\frac{dt}{t^3}-9\int ^{1}_{2}\frac{dk}{k^4}\) với \(x-2=t; 2-x=k\)
\(=4.\left.\begin{matrix} -1\\ -2\end{matrix}\right|\frac{t^{-3+1}}{-3+1}-9.\left.\begin{matrix} 1\\ 2\end{matrix}\right|\frac{k^{-4+1}}{-4+1}=\frac{9}{8}\)
Câu 3:
Phân số \(\frac{x^2+1}{(x^3+3x)^3}\) không xác định trên \([0;1]\); hàm không liên tục nên không có tích phân.
HT
17 tháng 1 2021
Nhìn đề dữ dội y hệt cr của tui z :( Để làm từ từ
Lập bảng xét dấu cho \(\left|x^2-1\right|\) trên đoạn \(\left[-2;2\right]\)
| x | -2 | -1 | 1 | 2 |
| \(x^2-1\) | 0 | 0 |
\(\left(-2;-1\right):+\)
\(\left(-1;1\right):-\)
\(\left(1;2\right):+\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{-1}_{-2}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^1_{-1}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^2_1\left|x^2-1\right|dx\)
\(=\int\limits^{-1}_{-2}\left(x^2-1\right)dx-\int\limits^1_{-1}\left(x^2-1\right)dx+\int\limits^2_1\left(x^2-1\right)dx\)
\(=\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^{-1}_{-2}-\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^1_{-1}+\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^2_1\)
Bạn tự thay cận vô tính nhé :), hiện mình ko cầm theo máy tính
HT
17 tháng 1 2021
2/ \(I=\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.lnx.dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=x^{\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.dx\)
\(=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}|^e_1=...\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2019
a/ \(I=\int\limits^1_0\dfrac{1}{\left(x^2+3\right)\left(x^2+1\right)}dx=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\left(\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{x^2+3}\right)dx\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(arctanx-\dfrac{1}{\sqrt{3}}arctan\dfrac{x}{\sqrt{3}}\right)|^1_0=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi\sqrt{3}}{36}\)
b/ \(I=\int\dfrac{x^2-1}{x^4+1}dx=\int\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}dx\)
Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)dx=dt\) ; \(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\)
\(\Rightarrow I=\int\dfrac{dt}{t^2-2}=\int\dfrac{dt}{\left(t-\sqrt{2}\right)\left(t+\sqrt{2}\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\int\left(\dfrac{1}{t-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{t+\sqrt{2}}\right)dt\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}ln\left|\dfrac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}\right|+C=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}ln\left|\dfrac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}\right|+C\)
c/ \(I=\int\dfrac{dx}{x\left(x^3+1\right)}=\int\dfrac{x^2dx}{x^3\left(x^3+1\right)}\)
Đặt \(x^3+1=t\Rightarrow3x^2dx=dt\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{dt}{\left(t-1\right)t}=\dfrac{1}{3}\int\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\right)dt=\dfrac{1}{3}ln\left|\dfrac{t-1}{t}\right|+C\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}ln\left|\dfrac{x^3}{x^3+1}\right|+C\)
d/ \(I=\int\limits^1_0\dfrac{xdx}{x^4+x^2+1}\)
Đặt \(x^2=t\Rightarrow2xdx=dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=1\Rightarrow t=1\end{matrix}\right.\)
\(I=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{t^2+t+1}=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}=\dfrac{2}{3}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{\dfrac{4}{3}\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2+1}\)
Đặt \(t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}tanu\Rightarrow dt=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{du}{cos^2u}\); \(\left\{{}\begin{matrix}t=0\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{6}\\t=1\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{du}{cos^2u\left(tan^2u+1\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}du=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{18}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 11 2017
Câu a)
\(\int \frac{1}{\cos^4x}dx=\int \frac{\sin ^2x+\cos^2x}{\cos^4x}dx=\int \frac{\sin ^2x}{\cos^4x}dx+\int \frac{1}{\cos^2x}dx\)
Xét \(\int \frac{1}{\cos^2x}dx=\int d(\tan x)=\tan x+c\)
Xét \(\int \frac{\sin ^2x}{\cos^4x}dx=\int \frac{\tan ^2x}{\cos^2x}dx=\int \tan^2xd(\tan x)=\frac{\tan ^3x}{3}+c\)
Vậy :
\(\int \frac{1}{\cos ^4x}dx=\frac{\tan ^3x}{3}+\tan x+c\)
\(\Rightarrow \int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{dx}{\cos^4 x}=\)\(\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{3}\\ \frac{\pi}{6}\end{matrix}\right|\left ( \frac{\tan ^3 x}{3}+\tan x+c \right )=\frac{44}{9\sqrt{3}}\)
Câu b)
\(\int \frac{(x+1)^2}{x^2+1}dx=\int \frac{x^2+1+2x}{x^2+1}dx=\int dx+\int \frac{2xdx}{x^2+1}\)
\(=x+c+\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}=x+\ln (x^2+1)+c\)
Do đó:
\(\int ^{1}_{0}\frac{(x+1)^2}{x^2+1}dx=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|(x+\ln (x^2+1)+c)=\ln 2+1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 11 2017
Câu c)
\(\int \frac{x^2+2\ln x}{x}dx=\int xdx+2\int \frac{2\ln x}{x}dx\)
\(=\frac{x^2}{2}+c+2\int \ln xd(\ln x)\)
\(=\frac{x^2}{2}+c+\ln ^2x\)
\(\Rightarrow \int ^{2}_{1}\frac{x^2+2\ln x}{x}dx=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|\left ( \frac{x^2}{2}+\ln ^2x +c \right )=\frac{3}{2}+\ln ^22\)
Câu d)
\(\int^{2}_{1} \frac{x^2+3x+1}{x^2+x}dx=\int ^{2}_{1}dx+\int ^{2}_{1}\frac{2x+1}{x^2+x}dx\)
\(=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|x+\int ^{2}_{1}\frac{d(x^2+x)}{x^2+x}=1+\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|\ln |x^2+x|=1+\ln 6-\ln 2\)
\(=1+\ln 3\)
HD
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 11 2019
\(3\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{9}\right]dx\le2\int\limits^1_0\sqrt{f'\left(x\right)}f\left(x\right)dx\) (1)
Ta lại có:
\(3f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{3}\ge2\sqrt{f'\left(x\right)}.f\left(x\right)\)
\(\Rightarrow3\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{9}\right]\ge2\int\limits^1_0\sqrt{f'\left(x\right)}.f\left(x\right)dx\) (2)
Từ (1); (2) \(\Rightarrow3\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{9}\right]dx=2\int\limits^1_0\sqrt{f'\left(x\right)}.f\left(x\right)dx\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(3f'\left(x\right).f^2\left(x\right)=\frac{1}{3}\Rightarrow3\int f'\left(x\right).f^2\left(x\right)dx=\int\frac{1}{3}dx\)
\(\Rightarrow f^3\left(x\right)=\frac{x}{3}+C\)
Thay \(x=0\Rightarrow f^3\left(0\right)=C\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow f^3\left(x\right)=\frac{x}{3}+1\Rightarrow\int\limits^1_0f^3\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\left(\frac{x}{3}+1\right)dx=\frac{7}{6}\)
Nếu đề là: \(I=\int\limits^1_0\dfrac{e^xx}{\left(x+1\right)^2}dx\) thì có thể tính bằng tích phân từng phần:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^x.x\\dv=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\left(e^x+e^x.x\right)dx=e^x\left(x+1\right)dx\\v=-\dfrac{1}{x+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=-\dfrac{x.e^x}{x+1}|^1_0+\int\limits^1_0e^xdx=\dfrac{e^x}{x+1}|^1_0=...\)
Trong chương trình toán của VN thì tích phân này không tính được bạn nhé
Biểu thức là \(\dfrac{x.e^x}{\left(x+1\right)^2}\) thì tính được