Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
Tương tự: \(y^2+z^2\ge2yz\); \(x^2+z^2\ge2xz\)
Cộng từng vế của các BDDT trên:
\(2\left(xz+yz+xy\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow3xy+3yz+3xz\le x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\)
\(\Leftrightarrow3xy+3yz+3xz\le\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3xy+3yz+3xz\le3^2=9\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\le3\)
Vậy \(D_{max}=3\Leftrightarrow x=y=z\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1+1+1\right)\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3^2=9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Vậy \(C_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
dăt tinh roi tinh
173,44:32 112,56:28 155,9:15
b 372,96:3 857,5:35 431,25:125
Câu 2-Ta có x^2+y^2=5
(x+y)^2-2xy=5
Đặt x+y=S. xy=P
S^2-2P=5
P=(S^2-5)/2
Ta lại có P=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=S^3-3SP=S^3-3S(S^2-5)/2
Rùi tự tính
Câu1
Ta có P<=a+a/4+b+a/12+b/3+4c/3 (theo bdt cô sy)
=> P<=4/3(a+b+c)=4/3
Vậy Max p =4/3 khi a=4b=16c
ta có : M=2.(a^3 +b^3) -3.(a^2 + b^2)
<=>M=2.(a+b)(a^2 -ab +b^2) - 3(a^2 +3b^2)
<=>M=2(a^2 -ab +b^2) -3(a^2 +b^2) vì a+b=1(gt)
<=>M=-(a^2 +b^2 +2ab)
<=>M=-(a+b)^2
<=>M=-1 (vì a+b=1)
Thực ra theo em nghĩ bài này là dùng UCT!
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Chọn m, n để \(a^3\ge ma^2+n\). Ta thử thay a = 2 vào: \(8=4m+n\Rightarrow n=8-4m\)
Vậy ta chọn m sao cho \(a^3\ge m\left(a-2\right)\left(a+2\right)+8\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a^2+2a+4\right)=\left(a-2\right)m\left(a+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a^2+2a+4-m\left(a+2\right)\right)=0\)
Chọn m để : \(a^2+2a+4=m\left(a+2\right)\)
Thay a = 2 vào:\(12=m.4\Rightarrow m=3\Rightarrow n=8-4m=-4\). Vậy BĐT phụ cần tìm là:
\(a^3\ge3a^2-4\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)^2\ge0\)
Khúc sau đơn giản rồi:D
Câu 4:
Để C chia hết cho D thì \(x^4+a⋮x^2+4\)
\(\Leftrightarrow x^4-16+a+16⋮x^2+4\)
=>a+16=0
hay a=-16
2. \(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\ge1\)
Đặt\(\frac{2}{a}=x;\frac{2}{b}=y;\frac{2}{c}=z\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=8\end{cases}}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge1\Leftrightarrow\left(yz+y+z+1\right)+\left(zx+z+x+1\right)+\left(xy+x+y+1\right)\ge xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\)\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)(Đúng vì \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=6\))
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1
3. Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)
Ta có đánh giá quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Từ đó suy ra \(ab+bc+ca\le1\)
\(A=\frac{\sqrt{a^2+1}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{a+b}\ge\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{a+b}\)\(=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{b+c}+\frac{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}{c+a}+\frac{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=3\)Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Ta có : \(\left(a^3+1\right)-3\left(a^2-1\right)=\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)-3\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
\(=\left(a+1\right)\left(a^2-a+1-3a+3\right)=\left(a+1\right)\left(a^2-4a+4\right)\)
\(=\left(a+1\right)\left(a-2\right)^2\ge0\)
Do đó : \(a^3\ge3a^2-4\)
Tương tự : \(b^3\ge3b^2-4\) ; \(c^3\ge3c^2-4\)
Suy ra : \(a^3+b^3+c^3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-12=3.12-12=24\)
Min A = 24 <=> a = b = c = 2
Bạn tự làm à