Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(M=\frac{4x+1}{x^2+3}=\frac{\left(x^2+4x+4\right)-\left(x^2+3\right)}{x^2+3}=\frac{\left(x+2\right)^2}{x^2+3}-1\ge-1\)
Vậy GTNN của M là -1 \(\Leftrightarrow\)x = -2
\(M=\frac{4x+1}{x^2+3}=\frac{\frac{4}{3}\left(x^2+3\right)-\frac{4}{3}x^2+4x-3}{x^2+3}=\frac{4}{3}-\frac{\frac{4}{3}\left(x^2-2.\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}\right)}{x^2+3}=\frac{4}{3}-\frac{\frac{4}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2}{x^2+3}\le\frac{4}{3}\)
Vậy GTLN của M là \(\frac{4}{3}\)\(\Leftrightarrow\)x = \(\frac{3}{2}\)
Câu 1:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(y^2=(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x})^2\leq (3^2+4^2)(x-1+5-x)\)
\(\Rightarrow y^2\leq 100\Rightarrow y\leq 10\)
Vậy \(y_{\max}=10\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\Leftrightarrow x=\frac{61}{25}\)
Tìm min:
Ta có bổ đề sau: Với $a,b\geq 0$ thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)
Chứng minh:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq a+b\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq 0\) (luôn đúng).
Dấu "=" xảy ra khi $ab=0$
--------------------
Áp dụng bổ đề trên vào bài toán ta có:
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\geq \sqrt{(x-1)+(5-x)}=2\)
\(\sqrt{5-x}\geq 0\)
\(\Rightarrow y=3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})+\sqrt{5-x}\geq 3.2+0=6\)
Vậy $y_{\min}=6$
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-1)(5-x)=0\\ 5-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=5\)
Bài 2:
\(A=\sqrt{(x-1994)^2}+\sqrt{(x+1995)^2}=|x-1994|+|x+1995|\)
Áp dụng BĐT dạng \(|a|+|b|\geq |a+b|\) ta có:
\(A=|x-1994|+|x+1995|=|1994-x|+|x+1995|\geq |1994-x+x+1995|=3989\)
Vậy \(A_{\min}=3989\)
Đẳng thức xảy ra khi \((1994-x)(x+1995)\geq 0\Leftrightarrow -1995\leq x\leq 1994\)
M=(8x+3)/(4x^2+1)
M = ( - 4x^2 - 1 + 4x^2 + 8x + 4)/(4x^2 +1)
M= -1 + (2x +2)^2/(4x^2 +1) ≥ -1
=> min M = -1 khi x = -1
mặt khác:
M = -1 + (2x +2)^2/(4x^2 +1)
M = 4 - 5 + (2x +2)^2/(4x^2 +1)
M = 4 - ( 20x^2 + 5 - 4x^2 - 8x - 4)/(4x^2 +1)
M = 4 - (16x^2 - 8x +1)/(4x^2 +1)
M = 4 - (4x - 1)^2/(4x^2 +1) ≤ 4
=> max M = 4 khi x = 1/4
\(M=\frac{12x+3}{3\left(x^2+3\right)}=\frac{4\left(x^2+3\right)-4x^2+12x-9}{3\left(x^2+3\right)}=\frac{4}{3}-\frac{\left(2x-3\right)^2}{3\left(x^2+3\right)}\le\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow M_{max}=\frac{4}{3}\) khi \(x=\frac{3}{2}\)
\(M=\frac{-\left(x^2+3\right)+x^2+4x+4}{x^2+3}=-1+\frac{\left(x+2\right)^2}{x^2+3}\ge-1\)
\(M_{min}=-1\) khi \(x=-2\)
Câu 1:
\(A=\dfrac{81x}{3-x}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{81x}{3-x}+\left(\dfrac{3}{x}-1\right)+1=\dfrac{81x}{3-x}+\dfrac{3-x}{x}+1\ge2\sqrt{\dfrac{81x}{3-x}.\dfrac{3-x}{x}}+1=18+1=19\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 0,3
Câu 2:
\(\dfrac{1}{3x-2\sqrt{6x}+5}=\dfrac{1}{\left(3x-2\sqrt{6x}+2\right)+3}=\dfrac{1}{\left(x\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2+3}\le\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)
Câu 3:
\(A=2014\sqrt{x}+2015\sqrt{1-x}=2014\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)+\sqrt{1-x}\)
Ta có: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)^2=x+1-x+2\sqrt{x\left(1-x\right)}=1+2\sqrt{x\left(1-x\right)}\ge1\)
=> \(A=2014\left(\sqrt{x}-\sqrt{1-x}\right)+\sqrt{1-x}\ge2014+\sqrt{1-x}\ge2014\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 1
bài b câu 1 vì |2x-1|≥0 |2x-1|≥0 với mọi x do đó GTNN của 3+ |2x-1|/14 là 3/14 khi x=0,5
\(M=\dfrac{4x+1}{x^2+3}\)
\(M+1=\dfrac{4x+1}{x^2+3}+\dfrac{x^2+3}{x^2+3}\)
\(M+1=\dfrac{x^2+4x+4}{x^2+3}=\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+3}\ge0\)
\(\Rightarrow M\ge-1\Leftrightarrow x=-2\)
Vậy MINM=-1<=>x=-2
C2:\(M=\dfrac{4x+1}{x^2+3}\)
\(\Leftrightarrow Mx^2+3M=4x+1\)
\(\Leftrightarrow Mx^2-4x+3M-1=0\left(1\right)\)
+)Xét M=0=>\(x=\dfrac{-1}{4}\)
+Xét \(M\ne0\)
=>Để pt(1) có nghiệm thì \(\Delta'=\left(-2\right)^2-M\left(3M-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4-3M^2+M\ge0\)
\(\Leftrightarrow-1\le M\le\dfrac{4}{3}\)
\(\Rightarrow MINM=-1\Leftrightarrow x=-2\)
\(MAXM=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)