TH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
10 tháng 11 2016
Áp dụng bđt Cô si cho 3 số không âm ta được:
1 = x + y + z \(\ge3.\sqrt[3]{xyz}\) (*)
Do đó, 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) \(\ge3.\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) (**)
Dễ thấy 2 vế của (*) và (**) đều không âm nên nhân từng vế của chúng ta được: 2 \(\ge9.\sqrt[3]{A}\)
\(\Rightarrow A\le\left(\frac{2}{9}\right)^3\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
Vậy ...
HN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 8 2018
Lời giải:
Ta có:
\(S=xyz(x+y)(y+z)(z+x)=(xz+yz)(xy+xz)(yz+xy)\)
Áp dụng BĐT AM-GM có:
\((xz+yz)(xy+xz)(yz+xy)\leq \left(\frac{xz+yz+xy+xz+yz+xy}{3}\right)^3\)
\(=\left(\frac{2(xy+yz+xz)}{3}\right)^3\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)
Do đó:
\(S\leq \left[\frac{2(xy+yz+xz)}{3}\right]^3\leq \left(\frac{2.\frac{1}{3}}{3}\right)^3=\frac{8}{729}\)
Vậy \(S_{\max}=\frac{8}{729}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
19 tháng 10 2015
\(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
=> \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)
Hai cái còn lại tương tự
=> A \(\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{x+y+z}\cdot\frac{x+y+z}{xyz}=1\)
Vậy MAx A = 1 tại x = y = z = 1
HD
1
9 tháng 6 2017
Sửa đề: \(A=xyz\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(xyz\le\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3=\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\dfrac{1}{27}\)
Và \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le\left(\dfrac{x+y+y+z+z+x}{3}\right)^3\)
\(=\left(\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right)^3=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}\)
Nhân theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(A\le\dfrac{1}{27}\cdot\dfrac{8}{27}=\dfrac{8}{729}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
CQ
0
TN
28 tháng 10 2016
\(A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)
Ta có:
\(x^3+y^3+xyz=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)+xyz\ge xy\left(x+y+z\right)\)
Tương tự:
\(y^3+z^3+xyz\ge yz\left(x+y+z\right);\)\(z^3+x^3+xyz\ge zx\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{x+y+z}\cdot\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{xyz}=1\)
Dấu = khi x=y=z
N
16 tháng 8 2020
Xét: \(x^4+y^4-xy\left(x^2+y^2\right)=\left(x^2+y^2+xy\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^4+y^4\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)(*)
Tương tự với (*) ta có: \(\hept{\begin{cases}y^4+z^4\ge yz\left(y^2+z^2\right)\\z^4+x^4\ge zx\left(z^2+x^2\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{x^4+y^4+z}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy\left(x^2+y^2\right)+z.xyz}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\)
Ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\) và \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{x^4+y^4+z}\le\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1