Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski, ta có :
\(\left[\left(\sqrt{\frac{2}{1-x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2\right]\left[\sqrt{1-x}^2+\sqrt{x}^2\right]\ge\left(\sqrt{\frac{2}{1-x}}.\sqrt{1-x}+\sqrt{\frac{1}{x}}.\sqrt{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\right)\left(1-x+x\right)\ge\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)^2\Rightarrow A\ge3+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\sqrt{2}-1\)
mình làm phần tử đại diện thôi nha
áp dụng bđt cô-si ta đc:
ta có \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{x^3}{x\sqrt{x^2-1}}\ge\frac{x^3}{\frac{x^2+x^2-1}{2}}=2x^3\)
Đến đây đc rồi nhỉ?
Ta có
\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}=\frac{1}{\sqrt{xx}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\)
\(\ge\frac{2}{x+x}+\frac{2}{x+y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)^2}{3x+y}\ge\frac{8}{4}=2\)
Vậy GTNH là 2 đạt được khi x = y = 1
Thật ra bài này dùng bđt Cô-si thì rất ngắn gọn , tham khảo tại đây
Tìm GTNN của hàm số: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ với $0<x<1$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Và mình xin làm thêm 1 cách nữa ( Do vừa nghĩ r :VV khá thú vị =)) đó là miền giá trị theo phương pháp đặc biệt)
Từ đề bài ta rút ra được y > 2
Ta có \(y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{2x+1-x}{x\left(1-x\right)}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{x+1}{x-x^2}\)
\(\Leftrightarrow yx-yx^2=x+1\)
\(\Leftrightarrow yx^2+x-yx+1=0\)
\(\Leftrightarrow yx^2+x\left(1-y\right)+1=0\)
Pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(1-y\right)^2-4y\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-2y+y^2-4y\ge0\)
\(\Leftrightarrow y^2-6y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y\le3-2\sqrt{2}\\y\ge3+2\sqrt{2}\end{cases}}\)
Mà y > 2 nên y chỉ có thể lớn hơn hoặc bằng \(3+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)
Vậy \(y_{min}=3+2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)