Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 3: \(3\left(\sqrt{2x^2+1}-1\right)=x\left(1+3x+8\sqrt{2x^2+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(3-8x\right)\sqrt{2x^2+1}=3x^2+x+3\)
\(\Rightarrow\left(3-8x\right)^2\left(2x^2+1\right)=\left(3x^2+x+3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow119x^4-102x^3+63x^2-54x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(7x-6\right)\left(17x^2+9\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{6}{7}\end{cases}}\)
Thử lại, ta nhận được \(x=0\)là nghiệm duy nhất của phương trình
\(A=\sqrt{x^2-6x+9+2\left(y^2+2y+1\right)}+\sqrt{x^2+2x+1+3\left(y^2+2y+1\right)}.\)
\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)
Với mọi giá trị được xác định của x; giá trị của biến y không phụ thuộc vào x, ta luôn có:
\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\le\sqrt{\left(x-3\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2}\)(1)
Dấu "=" khi y = -1.
(1) \(\Rightarrow A\le\left|x-3\right|+\left|x+1\right|\)(2)
- \(x< -1\)(2) \(\Rightarrow A\le-\left(x-3\right)-\left(x+1\right)=-2x+2>4\forall x< -1\)
- \(-1\le x\le3\)(2) \(\Rightarrow A\le-\left(x-3\right)+\left(x+1\right)=4\forall-1\le x\le3\)
- \(x>3\)(2) \(\Rightarrow A\le\left(x-3\right)+\left(x+1\right)=2x-2>4\forall x>3\)
Vậy GTNN của A = 4 khi -1<= x <= 3 và y = -1.
2. \(P=x^2-x\sqrt{3}+1=\left(x^2-x\sqrt{3}+\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Vây \(P_{min}=\frac{1}{4}\)khi \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
3. \(Y=\frac{x}{\left(x+2011\right)^2}\le\frac{x}{4x.2011}=\frac{1}{8044}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=2011\)
Vây \(Y_{max}=\frac{1}{8044}\)khi \(x=2011\)
4. \(Q=\frac{1}{x-\sqrt{x}+2}=\frac{1}{\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)+\frac{7}{4}}=\frac{1}{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}\le\frac{4}{7}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=\frac{1}{4}\)
Vậy \(Q_{max}=\frac{4}{7}\)khi \(x=\frac{1}{4}\)
Câu 1: Đề bài sai, với điều kiện đề bài đã cho thì Q vẫn nguyên tại \(x=0\), đề bài đúng phải là \(\forall x>0\) thì Q không nguyên (ko hiểu sao lại có điều kiện \(x\ne4\) , cái này hoàn toàn ko ảnh hưởng gì tới bài toán)
\(A=Q^2=\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x+4}\Leftrightarrow Ax+4A=x+4\sqrt{x}+4\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)x-4\sqrt{x}+4A-4=0\)
\(\Delta'=4-\left(4A-4\right)\left(A-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow=-A^2+2A\ge0\Rightarrow0\le A\le2\Rightarrow A\le2\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{2}< 2\)
Mặt khác ta có \(\sqrt{x}+2=\sqrt{x}+\sqrt{4}>\sqrt{x+4}\)
\(\Rightarrow Q=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+4}}>1\) \(\Rightarrow1< Q< 2\Rightarrow Q\) không thể nhận giá trị nguyên
Câu 2: ĐKXĐ: \(x\ge-2\)
a/ \(\Leftrightarrow4\left(x^2+2x+3\right)+3\left(x+2\right)=8\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2+2x+3\right)}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=a\ge0\\\sqrt{x^2+2x+3}=b>0\end{matrix}\right.\) ta được:
\(3a^2-8ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(3a-2b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\3a=2b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2+2x+3}\\3\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2+2x+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x^2+7x+10=0\left(vn\right)\\4x^2-x-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{97}}{8}\)
b/ ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge7\\-5\le x\le-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow3x^2-11x-22=7\sqrt{\left(x^2-5x-14\right)\left(x+5\right)}\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2-5x-14\right)+4\left(x+5\right)-7\sqrt{\left(x^2-5x-14\right)\left(x+5\right)}=0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-5x-14}=a\ge0\\\sqrt{x+5}=b\ge0\end{matrix}\right.\) ta được:
\(3a^2-7ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(3a-4b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\3a=4b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-5x-14}=\sqrt{x+5}\\3\sqrt{x^2-5x-14}=4\sqrt{x+5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-6x-19=0\\9x^2-61x-206=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=...\)