Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đường link : Câu hỏi của Hà Lê - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Ta có : a4 + b4 \(\ge\)2a2b2 ; b4 + c4 \(\ge\)2b2c2 ; a4 + c4 \(\ge\)2a2c2
\(\Rightarrow\)a4 + b4 + c4 \(\ge\)a2b2 + b2c2 + a2c2 ( 1 )
Lại có : a2b2 + b2c2 \(\ge\)2b2ac ; b2c2 + a2c2 \(\ge\)2c2ab ; a2b2 + a2c2 \(\ge\)2a2bc
\(\Rightarrow\)a2b2 + b2c2 + a2c2 \(\ge\)abc ( a + b + c ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)a4 + b4 + c4 \(\ge\) abc ( a + b + c )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1
Tương tự , b4 + c4 + d4 \(\ge\)bcd ( b + c + d ) ; a4 + b4 + d4 \(\ge\)abd ( a + b + d ) ; c4 + d4 + a4 \(\ge\)acd ( a + c + d )
\(\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}\le\frac{1}{abc\left(a+b+c\right)+abcd}=\frac{abcd}{abc\left(a+b+c+d\right)}=\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}\le\frac{a}{a+b+c+d}\); \(\frac{1}{a^4+b^4+d^4+abcd}\le\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{1}{c^4+d^4+a^4+abcd}\le\frac{b}{a+b+c+d}\)
Cộng từng vế theo vế , ta được :
A \(\le\)1 ( đặt A = biểu thức ấy nhé )
Vậy GTLN A = 1 \(\Leftrightarrow\)a = b = c = d = 1
Sử dụng kết hợp hai bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM - GM, ta được: \(\left(ab+1\right)^2\le\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a.a.1+1\right)\left(b.b.1+1\right)\)\(\le\left(\frac{a^3+a^3+1}{3}+1\right)\left(\frac{b^3+b^3+1}{3}+1\right)=\frac{4}{9}\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\)\(\Rightarrow ab+1\le\frac{2}{3}\sqrt{\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)}\Rightarrow\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}\)(1)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{b^3+2}{bc+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}\)(2); \(\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(Q=\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\)\(\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}+\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}+\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\right)\)
\(\ge\frac{3}{2}.\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}}=\frac{3}{2}\)(Áp dụng BĐT AM - GM)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
d> Ta có: \(\frac{-1}{x-2}\)( Theo a )
Để phân thức là số nguyên <=> -1 chia hết cho x-2 => x-2 thuộc Ư(-1)=+-1
*> X-2=1 => X=3 (TMĐK)
*> X-2=-1 => X=1 (TMĐK)
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
a) A có nghĩa khi \(\hept{2x-2\ne02-2x^2\ne0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x\ne2\\2x^2\ne2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\ne1\\x\ne\pm1\end{cases}\Leftrightarrow}x\ne\pm1}\)
Vậy A có nghĩa khi \(x\ne\pm1\)
b) \(A=\frac{x}{2x-2}+\frac{x^2+1}{2-2x^2}\left(x\ne\pm1\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{x}{2\left(x-1\right)}+\frac{x^2+1}{2\left(1-x^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2\left(x-1\right)}-\frac{x^2+1}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{x\left(x+1\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{x^2+1}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{x^2+x-x^2+1}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{1}{2\left(x-1\right)}\)
Vậy A=\(\frac{1}{2\left(x-1\right)}\left(x\ne\pm1\right)\)
b) \(A=\frac{1}{2\left(x-1\right)}\left(x\ne\pm1\right)\)
A=\(\frac{-1}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{2\left(x-1\right)}=\frac{-1}{2}\)
\(\Leftrightarrow-2\left(x-1\right)=2\)
<=> x-1=-1
<=> x=0 (tmđk)
Vậy x=0 thì \(A=\frac{-1}{2}\)
\(B=\left(\frac{2x+1}{2x-1}+\frac{4}{1-4x^2}-\frac{2x-1}{2x+1}\right):\frac{x^2+2}{2x+1}\left(x\ne\pm\frac{1}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow B=\left(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{4}{4x^2-1}-\frac{2x-1}{2x+1}\right):\frac{x^2+2}{2x+1}\)
\(\Leftrightarrow B=\left(\frac{\left(2x+1\right)^2}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}-\frac{4}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}-\frac{\left(2x-1\right)^2}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right)\cdot\frac{2x+1}{x^2+2}\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{\left(2x\right)^2+2\cdot1\cdot2x+1-4-\left[\left(2x\right)^2-2\cdot2x\cdot1+1^2\right]}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\cdot\frac{2x+1}{x^2+2}\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{4x^2+4x-3-4x^2+4x-1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\cdot\frac{2x+1}{x^2+2}\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{\left(8x-4\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(x^2+2\right)}=\frac{4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(x^2+2\right)}=\frac{4}{x^2+2}\)
b) \(B=\frac{4}{x^2+2}\left(x\ne\pm\frac{1}{2}\right)\)
Với x=-1 (TMĐK) thay vào B ta có:
\(B=\frac{4}{\left(-1\right)^2+2}=\frac{4}{1+2}=\frac{4}{3}\)
Vậy \(B=\frac{4}{3}\)khi x=-1
vì a b c d dương \(\Rightarrow\)1/a 1/b 4/c 16/d dương
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}=\frac{2^2}{a+b}\)(bdt am-gm) dấu = xảy ra khi a=b
\(\frac{4}{c}+\frac{16}{d}=\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}>=\frac{\left(2+4\right)^2}{c+d}=\frac{6^2}{c+d}\)(bđt am-gm) dấu = xảy ra khi \(\frac{2}{c}=\frac{4}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}>=\frac{2^2}{a+b}+\frac{6^2}{c+d}>=\frac{\left(2+6\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{8^2}{8}=8\)
dấu = xảy ra khi \(\frac{2}{a+b}=\frac{6}{c+d}\)
vậy min của \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\)là 8 tại \(a=b;\frac{2}{c}=\frac{4}{d};\frac{2}{a+b}=\frac{6}{c+d}\)
Bạn Đinh Quang Hiệp, bn có thể giải thích rõ hơn về phần dấu = xảy ra khi a=b ko? 😍😍😍