Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\sqrt{x^4+x^2y^2}+x^2=\sqrt{x^4+\frac{1}{x^2}}+x^2\)
Ta có: \(x^4+\frac{1}{x^2}=x^4+\frac{1}{8x^2}+\frac{1}{8x^2}+...+\frac{1}{8x^2}\ge9\sqrt[9]{x^4.\left(\frac{1}{8x^2}\right)^8}\)
\(=9\sqrt[9]{\frac{1}{8^8.x^{12}}}\)
=> \(P=3\sqrt[18]{\frac{1}{8^8.x^{12}}}+x^2\)
\(=\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+x^2\)
\(\ge4\sqrt[4]{\left(\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}\right)^3.x^2}\)
\(=4.\left(\frac{1}{8^{\frac{1}{3}}.x^{\frac{1}{2}}}\right).x^2=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^4=\frac{1}{8x^2}\\x^2=\sqrt[8]{\frac{1}{8^8x^{12}}}\end{cases}}\)<=> x^2 = 1/2 khi đó y = 2 , x = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Vậy GTNN của P = 2.
\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)\ge4\left|xy\right|\ge4xy\)
\(\Rightarrow3xy\le1\Rightarrow xy\le\frac{1}{3}\)
\(1+xy\ge4\left|xy\right|\ge-4xy\Rightarrow5xy\ge-1\Rightarrow xy\ge-\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow-\frac{1}{5}\le xy\le\frac{1}{3}\)
\(P=7\left(x^4+y^4+2x^2y^2\right)-10x^2y^2=7\left(x^2+y^2\right)^2-10x^2y^2\)
\(P=\frac{7}{4}\left(xy+1\right)^2-10x^2y^2=-\frac{33}{4}x^2y^2+\frac{7}{2}xy+\frac{7}{4}\)
Đặt \(t=xy\Rightarrow P=f\left(t\right)=-\frac{33}{4}t^2+\frac{7}{2}t+\frac{7}{4}\) với \(t\in\left[-\frac{1}{5};\frac{1}{3}\right]\)
Xét \(f\left(t\right)\) trên \(\left[-\frac{1}{5};\frac{1}{3}\right]\)
\(f\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{18}{25}\) ; \(f\left(\frac{1}{3}\right)=2\) ; \(f\left(-\frac{b}{2a}\right)=f\left(\frac{7}{33}\right)=\frac{70}{33}\)
\(\Rightarrow M=\frac{70}{33}\) ; \(m=\frac{18}{25}\)
Lập bảng thay các giá trị nguyên trong khoảng vào hàm rồi calc x:
x=0 ra kq:-504
x=1 ra kq:-515(GTNN)
x=2 ra kq:-472
x=3 ra kq:-339(GTLN)
Đặt \(A=\frac{x^2+2}{x^2+x+2}\)
Ta có \(A\left(x^2+x+2\right)=x^2+2\Leftrightarrow x^2\left(A-1\right)+Ax+\left(2A-2\right)=0\)
Nếu A = 1 thì x = 0
Nếu \(A\ne1\) , Xét \(\Delta=A^2-4\left(A-1\right).\left(2A-2\right)=A^2-8\left(A-1\right)^2=-7A^2+16A-8\)
Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow-7A^2+16A-8\ge0\Rightarrow\frac{8-2\sqrt{2}}{7}\le A\le\frac{8+2\sqrt{2}}{7}\)
Từ đó tìm được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất .
Cảm ơn bạn rất nhiều!