Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{\frac{10\sqrt{3}-6\sqrt{5}}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{\frac{2\sqrt{15}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{15}\left(\sqrt{5+\sqrt{3}}\right)}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{\frac{2\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{\frac{2^2}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)( Vì \(\sqrt{5}+\sqrt{3}>0\))
\(=\frac{2}{2}=1\)
Thay x= 1 vào A , ta được :
\(A=\left(1^3-1+1\right)^{2019}\)
\(=1\)
Vậy ....
\(a)\) \(B=\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=a-b\)
\(b)\) \(B=a-b=\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\)\(B^2=\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2=2+\sqrt{3}-2\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}+2-\sqrt{3}\)
\(B^2=4-2\sqrt{4-3}=4-2=2\)\(\Rightarrow\)\(B=\sqrt{2}\) ( vì \(B>0\) )
...
1, \(x^3=\left(7+\sqrt{\frac{49}{8}}\right)+\left(7-\sqrt{\frac{49}{8}}\right)+3x\sqrt[3]{\left(7+\sqrt{\frac{49}{8}}\right)\left(7-\sqrt{\frac{49}{8}}\right)}\)
\(=14+3x\cdot\frac{7}{2}=14+\frac{21x}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^3-\frac{21}{2}x-14=0\)
Ta có: \(f\left(x\right)=\left(2x^3-21-29\right)^{2019}=\left[2\left(x^3-\frac{21}{2}x-14\right)-1\right]^{2019}=\left(-1\right)^{2019}=-1\)
2, ta có: \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\) (bạn tự cm)
Áp dụng công thức trên ta được n=2016
3, \(x=\frac{\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}\left(\sqrt{5}+2\right)}{\sqrt{5}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt[3]{\left(\sqrt{5}\right)^3-3.\left(\sqrt{5}\right)^2.2+3\sqrt{5}.2^2-2^3}\left(\sqrt{5}+2\right)}{\sqrt{5}+\sqrt{9-2.3\sqrt{5}+5}}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{\left(\sqrt{5}-2\right)^3}\left(\sqrt{5}+2\right)}{\sqrt{5}+\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}}=\frac{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}=\frac{5-4}{3}=\frac{1}{3}\)
Thay x=1/3 vào A ta được;
\(A=3x^3+8x^2+2=3.\left(\frac{1}{3}\right)^3+8.\left(\frac{1}{3}\right)^2+2=3\)
\(T=\frac{\left(3+\sqrt{5}\right)^{2019}+\left(3-\sqrt{5}\right)^{2019}}{2^{2019}}\)
Ta có \(3+\sqrt{5}=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{2}\)
\(3-\sqrt{5}=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow T=\frac{\left[\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{2}\right]^{2019}+\left[\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}\right]^{2019}}{2^{2019}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{4038}+\left(\sqrt{5}-1\right)^{4038}}{2^{4038}}\)
Lại có \(\left(\sqrt{5}+1\right)^{4038}=\left[\left(\sqrt{5}+1\right)^3\right]^{1346}⋮\left(\sqrt{5}+1\right)^3\)
Tương tự \(\left(\sqrt{5}-1\right)^{4038}⋮\left(\sqrt{5}-1\right)^3\)
\(\Rightarrow T⋮\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^3+\left(\sqrt{5}-1\right)^3}{2^{4038}}=\frac{\left(2\sqrt{5}\right)\left[\left(\sqrt{5}+1\right)^2-\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)^2\right]}{2^{2038}}\)
\(\Rightarrow T⋮2\sqrt{5}\Rightarrow T⋮5\)
Vậy T chia cho 5 dư 0
P/s : Không biết làm đúng không nữa :)
Giải bài toán tổng quát luôn nha.
Chứng minh:
\(T=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}\equiv3\left(mod5\right)\) với n không âm
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{3+\sqrt{5}}{2}=a\\\frac{3-\sqrt{5}}{2}=b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow T=a^{2n+1}+b^{2n+1};a+b=3;ab=1;a^2+b^2=7\)
Dùng phương pháp quy nạp chứng minh:
Ta thấy với \(\hept{\begin{cases}n=0\Rightarrow T=3\equiv3\left(mod5\right)\\n=1\Rightarrow T=18\equiv3\left(mod5\right)\end{cases}}\)
Giả sử nó đúng đến \(n=k\)hay
\(\hept{\begin{cases}a^{2k-1}+b^{2k-1}\equiv3\left(mod5\right)\\a^{2k+1}+b^{2k+1}\equiv3\left(mod5\right)\end{cases}}\)
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\)
Ta có:
\(T_{k+1}=a^{2k+3}+b^{2k+3}\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(a^{2k+1}+b^{2k+1}\right)-a^2b^2\left(a^{2k-1}+b^{2k-1}\right)\equiv7.3-1.3\equiv3\left(mod5\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Áp dụng vào bài toán ta thấy \(2019\)có đạng \(2n+1\)
Vậy nên bài toán ban đầu sẽ có số dư là 3 khi chia cho 5