Question

[boss magic]

Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: (2\(^x\) + 1)(2\(^x\) + 2)(2\(^x\) + 3)(2\(^x\) + 4) - 5\(^y\) = 11879

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

\(\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)-5^y=11879\)

\(\Rightarrow\left(2^x+1\right)\left(2^x+4\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)=11879+5^y\)

\(\Rightarrow\left(2^{2x}+5.2^x+4\right)\left(2^{2x}+5.2^x+6\right)=11879+5^y\)(1)

Đặt \(2^{2x}+5.2^x+4=k\)

\(\left(1\right)\)trở thành: \(t\left(t+2\right)=11879+5^y\)

\(\Rightarrow t^2+2t+1=11880+5^y\)

\(\Rightarrow\left(t+1\right)^2=11880+5^y\)

hay \(\left(2^{2x}+5.2^x+5\right)^2=11880+5^y\)

+) Xét y = 0 thì \(\left(2^{2x}+5.2^x+5\right)^2=11881\)

\(\Rightarrow2^{2x}+5.2^x+5=109\)

\(\Rightarrow2^{2x}+5.2^x=104\Rightarrow2^x\left(8+5\right)=104\)

\(\Rightarrow2^x=8\Rightarrow x=3\)

+) Xét \(y>0\)thì \(11880+5^y⋮5\)

Mà \(\left(2^{2x}+5.2^x+5\right)^2\)không chia hết cho 5 nên loại y >0

Vậy y = 0; x = 3

Answer 2

[Trí Tiên亗]

Anh có cách này khác nè, em tham khảo nhé !!

Ta có : \(2^x\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)⋮5\)

mà : \(2^x⋮̸5\) \(\Rightarrow\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)⋮5\)

Mặt khác \(11879⋮̸5\Rightarrow5^y⋮̸5\)

\(\Rightarrow y=0\)

\(\Rightarrow\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)=11880=9\cdot10\cdot11\cdot12\)

\(\Rightarrow x=3\) ( thỏa mãn )

Vậy : \(x=3,y=0\) thỏa mãn đề.