Question

[Nguyễn Quỳnh Chi]

tìm các số nguyên dương x, y biết:           2^x + 15 = y²

Answer 1

[Xyz OLM]

Đặt x = 0

=> 2^x + 15 = 16 (tm)

=> y = 4 

=> x = 0 chọn

x > 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x=2k+1\\x=2k\end{cases}}\left(k\inℕ^∗\right)\)

Khi x = 2k

=> 2^x + 15 = 2^2k + 15 = 4^k + 15

nhận tháy 4^k \(⋮\)4 còn 15 : 4 dư 3 => loại vị số chính phương chia 4 không dư 3

Khi x = 2k + 1

=> 2^x + 15 = 2^{2k + 1} = 4^k.2 + 15

nhận tháy 4^k .2\(⋮\)4 còn 15 : 4 dư 3 => loại vị số chính phương chia 4 không dư 3

Vậy x = 0 ; y = 4 là giá trị cần tìm 

Answer 2

[Đoàn Đức Hà]

\(x,y\)nguyên dương suy ra \(2^x+15\)là số lẻ suy ra \(y\)là số lẻ. 

Đặt \(y=2n+1\left(n\inℕ\right)\). 

\(2^x+14=\left(2n+1\right)^2-1\)

\(\Leftrightarrow2^x+14=4n^2+4n\)

\(VP⋮4\Rightarrow VT⋮4\Rightarrow x=1\)(vì nếu \(x\ge2\)thì \(2^x⋮4,14⋮̸4\Rightarrow2^x+14⋮̸4\)) 

Suy ra \(y^2=17\)không có nghiệm nguyên. 

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.