Question

[Nguyễn Minh Hoàng]

Tìm các số nguyên dương thỏa mãn: 3x^2 - 18y^2 + 2z^2 + 3y^2z^2 - 18x = 27

Answer 1

[Ngô Chi Lan]

Ta có:\(3x^2-18y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=27\)

\(\Leftrightarrow3x^2-18y^2+2z^2+3y^2z^2-18x-27=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2-6x+9\right)-18y^2+2z^2+3y^2z^2-54=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2-18y^2+2z^2+3y^2z^2=54\)

Để pt có nghiệm nguyên thì:\(z^2⋮3\) \(\Rightarrow z⋮3\)\(\Rightarrow z^2⋮9\)\(\Rightarrow z^2\ge9\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+3y^2\left(z^2-6\right)+2z^2=54\)

\(\Rightarrow54=3\left(x-3\right)^2+3y^2\left(z^2-6\right)+2z^2\ge3\left(x-3\right)^2\le12\)

\(\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^2=1\\y^2=4\end{cases}}\)

Với \(y^2=1\Rightarrow y=1\)pt có dạng :

\(3\left(x-3\right)^2+5z^2=72\)

\(\Leftrightarrow5z^2\le72\)

\(\Leftrightarrow z^2=9\Leftrightarrow z=3\)

\(\Rightarrow x=6\)

Với \(y^2=4\Rightarrow y=2\)pt có dạng:

\(3\left(x-3\right)^2+14z^2=126\)

\(\Leftrightarrow14z^2\le126\)

\(\Leftrightarrow z^2\le9\Rightarrow z=3\)

\(\Rightarrow x=3\)

Vậy ......