Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a ) Với p = 3 , p là số nguyên tố và \(p^2+8=3^2+8=17\)cũng là số nguyên tố => p = 3 thỏa mãn đề bài
Xét với p > 3 , ta biểu diễn :
\(p^2+8=\left(p^2-1\right)+9=\left(p-1\right)\left(p+1\right)+9\)
Xét ba số nguyên liên tiếp : p - 1 , p , p + 1 ắt sẽ có một số chia hết cho 3.
Vì p là số nguyên tố , p > 3 nên p không chia hết cho 3. Vậy một trong hai số p - 1 , p + 1 chia hết cho 3. Suy ra tích (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3. Lại có 9 chia hết cho 3
\(\Rightarrow p^2+8\)chia hết cho 3. (vô lí vì \(p^2+8\)là số nguyên tố lớn hơn 3)
Vậy p = 3 \(\Rightarrow p^2+2=3^2+2=11\)là số nguyên tố (đpcm)
b) Với p = 3 thì \(8p^2+1\)là số nguyên tố.
Với p là số nguyên tố, p > 3 :
Ta có : \(8p^2+1=8\left(p^2-1\right)+9=8\left(p-1\right)\left(p+1\right)+9\)
Xét ba số nguyên liên tiếp : p - 1 , p , p + 1 , ắt sẽ tìm được một số chia hết cho 3
Vì p là số nguyên tố, p > 3 , nên p không chia hết cho 3. Vậy một trong hai số p - 1 , p + 1 chia hết cho 3
Suy ra tích (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 . Lại có 9 chia hết cho 3
=> 8p2 + 1 chia hết cho 3 (vô lí vì 8p2 + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3)
Vậy p = 3 . Suy ra 2p + 1 = 7 là số nguyên tố. (đpcm)
Ta có:
A=\(12n^2-5n-25=\left(4n+5\right)\left(3n-5\right)\)
do \(n\in N\)=> 4n+5>3n-5
Do A là số nguyên tố nên: \(\hept{\begin{cases}3n-5=1\\4n+5=p\end{cases},p\in P}\)
Từ pt 1: => n=2
thay vào pt 2 được 4.2+5=13 nguyên tố
Vậy n=2
Ước nguyên nhỏ nhất là \(-\left(215^2+314^2\right)\)
Ước nguyên lớn nhất là \(\left(215^2+314^2\right)\)
Lời giải:
$A=n^3-n^2-n-2=(n-2)(n^2+n+1)$
Để $A$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 thừa số $n-2, n^2+n+1$ có giá trị bằng $1$ và số còn lại là số nguyên tố
Mà $n^2+n+1> n-2$ nên:
$n-2=1$
$\Rightarrow n=3$
Thay $n=3$ vô ta thấy $A=13$ là snt (thỏa mãn)
Đặt A = 52n2−6n+2−12=25n2−3n+1−12≡12n2−3n+1−12(mod13)52n2−6n+2−12=25n2−3n+1−12≡12n2−3n+1−12(mod13)
=>12n2−3n+1−12=12.(12n(n−3)−1)12n2−3n+1−12=12.(12n(n−3)−1)
(12n(n−3)−1)(12n(n−3)−1) chia luôn chia 13 dư 1 do n(n-3) luôn chia hết cho 2
=> 52n2−6n+2−12⋮1352n2−6n+2−12⋮13 mà A lại là số nguyên tố nên A= 13
=> 52n2−6n+2=2552n2−6n+2=25 => n =3
Vậy n = 3
2.\(P=\frac{x+1}{2x+5}+\frac{x+2}{2x+4}+\frac{x+3}{2x+3}\)
\(=\frac{x+1}{2x+5}+1+\frac{x+2}{2x+4}+1+\frac{x+3}{2x+3}+1-3\)
\(=\frac{3x+6}{2x+5}+\frac{3x+6}{2x+4}+\frac{3x+6}{2x+3}-3\)
\(=\left(3x+6\right)\left(\frac{1}{2x+5}+\frac{1}{2x+4}+\frac{1}{2x+3}\right)-3\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Nhân vế với vế của 3 BĐT trên ta được:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT \(\left(1\right)\)ta được:
\(\frac{1}{2x+5}+\frac{1}{2x+4}+\frac{1}{2x+3}\ge\frac{9}{6x+12}\)
\(\Leftrightarrow\left(3x+6\right)\left(\frac{1}{2x+5}+\frac{1}{2x+4}+\frac{1}{2x+3}\right)-3\ge3\left(x+2\right).\frac{9}{6\left(x+2\right)}-3\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Lời giải:
Nếu $n$ là số nguyên dương chẵn thì $n^4+4^n$ là số nguyên dương chẵn và lớn hơn $2$ nên không thể là số nguyên tố (loại)
Nếu $n$ là số nguyên dương lẻ:
\(n^4+4^n=(n^2)^2+(2^n)^2=(n^2+2^n)^2-2.n^2.2^n\)
\(=(n^2+2^n)^2-(n.2^{\frac{n+1}{2}})^2=(n^2+2^n-n.2^{\frac{n+1}{2}})(n^2+2^n+n.2^{\frac{n+1}{2}})\)
Để $n^4+4^n$ là số nguyên tố thì nó chỉ có đúng 2 ước nguyên tố (1 và chính nó). Do đó 1 trong 2 thừa số \(n^2+2^n-n.2^{\frac{n+1}{2}};n^2+2^n+n.2^{\frac{n+1}{2}}\) phải bằng $1$.
Vì \(n^2+2^n-n.2^{\frac{n+1}{2}}< n^2+2^n+n.2^{\frac{n+1}{2}}\) nên \(n^2+2^n-n.2^{\frac{n+1}{2}}=1\)
\(\Leftrightarrow 2n^2+2^{n+1}-2n.2^{\frac{n+1}{2}}=2\)
\(\Leftrightarrow (n-2^{\frac{n+1}{2}})^2+n^2=2\). Với $n\geq 3$ thì hiển nhiên vô lý nên $n< 3$. Mà $n$ lẻ nên $n=1$. Thử lại thấy đúng
Vậy $n=1$
Thầy ơi cho em hỏi tí nhá, có chỗ em không hiểu.
tại sao \((n^2+2n)^2-2.n^2.2^n\)\(=(n^2+2^n)^2-(n.2\frac{n+1}{2})^2\).
Thầy giải thich giùm em với ạ. Em cảm ơn thầy.