Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
B1:
\(\Leftrightarrow5a-5b\sqrt{2}-4a-4b\sqrt{2}+18\sqrt{2}\left(a^2-2b^2\right)=3\left(a^2-2b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow5a-5b\sqrt{2}-4a-4b\sqrt{2}+18a^2\sqrt{2}-36b^2\sqrt{2}=3a^2-6b^2\)
\(\Leftrightarrow18a^2\sqrt{2}-36b^2\sqrt{2}-9b\sqrt{2}=3a^2-6b^2-a\)
\(\Leftrightarrow\left(18a^2-36b^2-9b\right)\sqrt{2}=3a^2-6b^2-a\)
Nếu \(18a^2-36b^2-9b\ne0\Rightarrow\sqrt{2}=\frac{3a^2-6b^2-a}{18a^2-36b^2-9b}\)
Vì a,b nguyên nên \(\frac{3a^2-6b^2-a}{18a^2-36b^2-9b}\in Q\Rightarrow\sqrt{2}\in Q\)=> Vô lý vì \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ.
Vậy ta có: \(18a^2-36b^2-9b=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}18a^2-36b^2-9b=0\\3a^2-6b^2-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a^2-6b^2=\frac{3}{2}b\\3a^2-6b^2=a\end{cases}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}b}\)
Thay \(a=\frac{3}{2}b\)vào \(3a^2-6b^2-a=0\)ta có:
\(3.\frac{9}{4}b^2-6b^2-\frac{3}{2}b=0\Leftrightarrow27b^2-24b^2-6b=0\Leftrightarrow3b\left(b-2\right)=0\)
Ta có: b=0(loại) ; b=2(thoả mãn) . Vậy a=3. KL:...
B2: \(GT\Rightarrow\left[\left(a+b\right)^2-2\left(ab+1\right)\right]\left(a+b\right)^2+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4-2\left(a+b\right)^2\left(1+ab\right)+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-\left(1+ab\right)\right]^2=0\Rightarrow\left(a+b\right)^2-\left(1+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1+ab\Leftrightarrow\left|a+b\right|=\sqrt{1+ab}\in Q\)( vì a,b thuộc Q)
KL:....
\(\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3\)
<=> \(\frac{5\left(a-b\sqrt{2}\right)}{a^2-2b^2}-\frac{4\left(a+b\sqrt{2}\right)}{a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=3\) trục căn thức
<=> \(\frac{5a}{a^2-2b^2}-\frac{5b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}-\frac{4a}{a^2-2b^2}-\frac{4b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=3\)
Vì a; b nguyên => \(\hept{\begin{cases}\frac{5a}{a^2-2b^2}-\frac{4a}{a^2-2b^2}=3\\-\frac{5b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}-\frac{4b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=0\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a^2-2b^2}=3\\\frac{9b}{a^2-2b^2}=18\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a^2-2b^2}=3\\\frac{b}{a^2-2b^2}=2\end{cases}}\)
Với b = 0 => loại
Với b khác 0:
=> \(\frac{a}{b}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}b\)
=> \(\frac{b}{\frac{9}{4}b^2-2b^2}=2\)=> b = 2 => a = 3 thử lại thỏa mãn
Vậy a = 3 và b = 2.
\(\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3\)
\(\Leftrightarrow5a-5b\sqrt{2}-4a-4b\sqrt{2}+18\sqrt{2}\left(a^2-2b^2\right)=3\left(a^2-2b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow5a-5b\sqrt{2}-4a-4b\sqrt{2}+18a^2\sqrt{2}-36b^2\sqrt{2}=3a^2-6b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(18a^2-36b^2-9b\right)\sqrt{2}=3a^2-6b^2-a\)
-Nếu \(18a^2-36b^2-9b\ne0\Rightarrow\sqrt{2}=\frac{3a^2-6b^2-a}{18a^2-36b^2-9b}\)
Vì a,b nguyên nên \(\frac{3a^2-6b^2-a}{18a^2-36b^2-9b}\inℚ\Rightarrow\sqrt{2}\inℚ\)=> Vô lý vì \(\sqrt{2}\)là số vô tỷ
-Vậy ta có: \(18a^2-36b^2-9b=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}18a^2-36b^2-9b=0\\3a^2-6b^2-a=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3a^2-6b^2=\frac{3}{2}b\\3a^2-6b^2=2\end{cases}}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}b}\)
Thay a=\(\frac{3}{2}b\)vào \(3a^2-6b^2-a=0\)
ta có \(3\cdot\frac{9}{4}b^2-6b^2-\frac{3}{2}b=0\Leftrightarrow27b^2-6b=0\Leftrightarrow3b\left(b-2\right)=0\)
Ta có b=0 (loại), b=2 (tm) => a=3
Vậy b=2; a=3
Ta có : \(\left(x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)=2017\left(1\right)\)
\(\left(y+\sqrt{y^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\left(2\right)\)
nhân theo vế của ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có :
\(2017\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017^2\)
\(\Rightarrow\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\)
rồi bạn nhân ra , kết hợp với việc nhân biểu thức ở phần trên xong cộng từng vế , cuối cùng ta đc :
\(xy+\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017-xy\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+2017\left(x^2+y^2\right)+2017^2=2017^2-2\cdot2017xy+x^2y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=-2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2=0\Rightarrow x=-y\)
A = 2017
( phần trên mk lười nên không nhân ra, bạn giúp mk nhân ra nha :) )
2/ \(\frac{\sqrt{x-2011}-1}{x-2011}+\frac{\sqrt{y-2012}-1}{y-2012}+\frac{\sqrt{z-2013}-1}{z-2013}=\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}+\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}+\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-2011-4\sqrt{x-2011}+4}{x-2011}\right)+\left(\frac{y-2012-4\sqrt{y-2012}+4}{y-2012}\right)+\left(\frac{z-2013-4\sqrt{z-2013}+4}{z-2013}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-2011}-2\right)^2}{x-2011}+\frac{\left(\sqrt{y-2012}-2\right)^2}{y-2012}+\frac{\left(\sqrt{z-2013}-2\right)^2}{z-2013}=0\)
Dấu = xảy ra khi \(\sqrt{x-2011}=2;\sqrt{y-2012}=2;\sqrt{z-2013}=2\)
\(\Leftrightarrow x=2015;y=2016;z=2017\)
b) Đặt a+b=s và ab=p. Ta có: \(a^2+b^2=4-\left(\frac{ab+2}{a+b}\right)^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2ab+\frac{\left(ab+2\right)^2}{\left(a+b\right)^2}=4\)
\(\Leftrightarrow s^2-2p+\frac{\left(p+2\right)^2}{s^2}=4\Leftrightarrow s^4-2ps^2+\left(p+2\right)^2=4s^2\)
\(\Leftrightarrow s^4-2s^2\left(p+2\right)+\left(p+2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(s^2-p-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow s^2-p-2=0\Leftrightarrow p+2=s^2\Leftrightarrow\sqrt{p+2}=\left|s\right|\Leftrightarrow\sqrt{ab+2}=\left|a+b\right|\)
Vì a, b là số hữu tỉ nên |a+b| là số hữu tỉ. Vậy \(\sqrt{ab+2}\)là số hữu tỉ
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Lời giải:
Trước tiên, ta sẽ CM bất đẳng thức sau:\(P\geq \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)\((\star)\)
Thật vậy: BĐT tương đương với :
\(a^2\left (\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b} \right )+b^2\left ( \frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c} \right )+c^2\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c} \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^2(a^2-c^2)+b^2(b^2-a^2)+c^2(c^2-b^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\geq 0\) (luôn đúng)
BĐT \((\star)\) được chứng minh .
Giờ ta chỉ cần tìm min của \(A=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)
Để ý rằng \(A-\left(\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{c+a}\right)=\sum \left(\frac{a^2-b^2}{a+b}\right)=a-b+b-c+c-a=0\)
\(\Rightarrow 2A=\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\). Sử dụng Cauchy-Schwarz:
\(2A\geq \frac{(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})^2}{2(a+b+c)}=\frac{1008}{a+b+c}\)
Sử dụng AM_GM: \(\sqrt{2016}=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\geq \frac{a+b}{\sqrt{2}}+\frac{b+c}{\sqrt{2}}+\frac{c+a}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\leq 12\sqrt{7}\) suy ra \(A\geq 6\sqrt{7}\) suy ra \(P_{\min}=6\sqrt{7}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=4\sqrt{7}\)
\(\frac{5\left(a-b\sqrt{2}\right)-4\left(a+b\sqrt{2}\right)}{a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=3\)
\(\left(a-9b\sqrt{2}\right)+\left(a^2-2b^2\right)18\sqrt{2}=3\left(a^2-2b\right)\)
\(\sqrt{2}\left[18\left(a^2-2b^2\right)-9b\right]+a=3\left(a^2-2b\right)\)
\(\sqrt{2}\)là số vô tỷ=> \(\hept{\begin{cases}2a^2-4b^2-b=0\\3a^2-6b-a=0\end{cases}\Leftrightarrow}\) (giải hệ này ra a,b)