Question

[Lê Vũ Hoàng Anh]

Tìm các số a,b,c ∈ Q biết a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac và a + b + c = 2019.

Nhờ mọi người giải chi tiết cho với nha!Cảm ơn mọi người

Answer 1

[Green sea lit named Wang Junkai]

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca

=> ( a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ac + a2) = 0

=> ( a - b)2 + (b - c)2 + (c-a)2 = 0

Mà  ( a - b)2 , (b - c)2 , (c-a)2 ≥≥ 0 => ( a - b)2 + (b - c)2 + (c-a)2 ≥≥ 0

=> ( a - b)2 + (b - c)2 + (c-a)2 = 0 khi a = b ; b =c ; c=a

=> a= b =c

Mà a + b + c = 2019 => a = b = c = 2019 : 3 = 673

Answer 2

[Cù Thanh Bình]

`a^2 + b^2 +c^2=ab + bc+ac`

`->a^2 + b^2 - c^2 - ab - bc - ac=0`

`-> 2a^2 +2b^2 +2c^2 -2ab - 2bc-2ca=0`

`-> (a^2 - 2ab + b^2)+(b^2 - 2bc +c^2)+(c^2 - 2ca +a^2)=0`

`->(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2=0`

Vì `(a-b)^2 ≥0, (b-c)^2 ≥ 0, (c-a)^2 ≥0` với mọi `a,b,c`

`-> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥0∀a,b,c`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔ (a-b)^2=0, (b-c)^2=0, (c-a)^2=0`

`↔a-b=0, b-c=0, c-a=0`

`↔ a=b,  b=c, c=a`

`↔ a=b=c`

Do đó : `a+a+a=209 ->3a=2019 ->a=673`

`->b=c=673`