Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\text{Ta có: }\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi a=1
cách c/m:
\(\text{Xét }a^2=1\Leftrightarrow\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}=2\)
\(\text{Xét }a^2>1.\text{Đặt }a^2=k+1\left(k>0\right)\text{ta có:}\frac{k+1}{1}+\frac{1+k-k}{k+1}=\frac{k}{1}+1+1-\frac{k}{k+1}=2+\frac{k^2}{k+1}>2\left(\text{Vì }k>0\right)\)
\(\text{Xét }a^2< 1.\text{Đặt }a^2=1-k,\text{ta có: }\frac{1-k}{1}+\frac{1-k+1}{1-k}=1-\frac{k}{1}+1+\frac{1}{1-k}=2+\frac{k^2-k+1}{1-k}\)
\(k^2-k+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(k-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)(1)
\(1-k=a^2,a^2>0\Rightarrow1-k>0\)(2)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{k^2-k+1}{1-k}>0\Rightarrow2+\frac{k^2-k+1}{1-k}>2\)
\(\text{ }\frac{b^2}{1}+\frac{1}{b^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi b=1
\(\frac{c^2}{1}+\frac{1}{c^2}\ge2\) Dấu = xảy ra khi c=1
\(\Leftrightarrow\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)+\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\ge6\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
??? ghi sai đề ko bạn? =3 chứ ?
p/s: sai sót bỏ qua >:
Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử của VP đều dương,áp dụng bđt Cauchy:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{b+c-a+a+c-b}{2}=c\)
\(\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\le\frac{a+c-b+a+b-c}{2}=a\)
Nhân theo vế => ddpcm "=" khi a=b=c
Lời giải:
a) Ta có:
\(a^2-b^2+c^2\geq (a-b+c)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2+c^2\geq a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow 2ab+2bc\geq 2b^2+2ac\)
\(\Leftrightarrow ab+bc\geq b^2+ac\Leftrightarrow b(a-b)+c(b-a)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(b-c)\geq 0\)
BĐT trên luôn đúng do \(a\geq b\geq c\)
Do đó ta có đpcm.
b) \(a^2-b^2+c^2-d^2\geq (a-b+c-d)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2+c^2-d^2\geq (a-b)^2+(c-d)^2+2(a-b)(c-d)\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2+c^2-d^2\geq a^2+b^2+c^2+d^2-2ab-2cd+2ac-2ad-2bc+2bd\)
\(\Leftrightarrow 2(ab+cd+ad+bc)\geq 2(b^2+d^2)+2ac+2bd\)
\(\Leftrightarrow ab+cd+ad+bc\geq b^2+d^2+ac+bd\)
\(\Leftrightarrow b(a-b)+d(c-d)+d(a-b)-c(a-b)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(b+d-c)+d(c-d)\geq 0\)
BĐT trên luôn đúng do:
\(\left\{\begin{matrix} d\geq 0\\ a\geq b\rightarrow a-b\geq 0\\ c\geq d\rightarrow c-d\geq 0\\ b\geq d\rightarrow b+d-c\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow (a-b)(b+d-c)+d(c-d)\geq 0\)
Do đó ta có đpcm.
* ta biết số chính phương: n² khi chia 3 dư 0 hoặc dư 1
từ a² = b²+c², thấy b² và c² khi chia 3 không thể cùng dư 1
vì nếu chúng cùng dư 1 thì a² = b²+c² chia 3 dư 2 vô lí
=> hoặc b², hoặc c² có ít nhất 1 số chia 3 dư 0 => b hoặc c chia hết cho 3
=> abc chia hết cho 3 (♠)
* ta biết số n² chia 4 dư 0 hoặc dư 1
nếu n chẳn => n² chia 4 dư 0
nếu n lẻ: n = 2k+1 => (2k+1)² = 4k²+4k+1 chia 4 dư 1
từ a² = b²+c² => b² và c² khi chia 4 không thể cùng dư 1
vì nếu b² và c² chia 4 đều dư 1 => b²+c² = a² chia 4 dư 2 trái lí luận trên
=> hoặc b² hoặc c² (hoặc cả 2) chia 4 dư 0, chẳn hạn b² chia 4 dư 0
+ nếu c² chia 4 dư 0 => b và c đều chia hết cho 2 => abc chia hết cho 4
+ nếu c² chia 4 dư 1 => a² = b²+c² chia 4 dư 1 => a, c là 2 số lẻ
a = 2n+1 ; c = 2m+1; có: b² = a²-c² = (a-c)(a+c) = (2n-2m)(2n+2m+2)
=> b² = 4(n-m)(n+m+1) (**)
ta lại thấy nếu m, n cùng chẳn hoặc cùng lẻ => n-m chẳn
nếu m, n có 1 chẳn, 1 lẻ => m+n+1 chẳn
=> (m-n)(m+n+1) chia hết cho 2 => b² = 4(m-n)(m+n+1) chia hết cho 8
=> b chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4
Tóm lại abc luôn chia hết cho 4 (♣)
* lập luận tương tự thì thấy số n² chia cho 5 chỉ có thể dư 0, 1, 4
+ b² và c² chia 5 không thể cùng dư 1 hoặc 4
vì nếu cùng dư 1 => b²+c² = a² chia 5 dư 2
nếu cùng dư là 4 thì b²+c² = a² chia 5 dư 3
đều vô lí do a² chia 5 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4
+ b² chia 5 dư 1 và c² chia 5 dư 4 (hoặc ngược lại)
=> b²+c² = a² chia 5 dư 0 => a chia hết cho 5 (do 5 nguyên tố)
+ nếu b² hoặc c² chia 5 dư 0 => b (hoặc c ) chia hết cho 5
Tóm lại vẫn có abc chia hết cho 5 (♥)
Từ (♠), (♣), (♥) => abc chia hết cho 3, 4, 5
=> abc chia hết cho [3,4,5] = 60
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Nếu bảo đầu đề thiếu thì có thể thiếu câu: a, b, c nguyên. nhưng khi đã nói đến tính chia hết thì mặc nhiên ta cũng hiểu a, b, c nguyên, ta cũng có thể rút ra 1 chân lí là khi bí 1 bài nào đó thì ưu tiên 1 là nghi ngờ (or khẳng định) là đề sai