Question

[Nguyễn Thị Mai Hương]

Tìm các chữ số a,b,c sao cho số 2008abc chia hết cho 5;7 và 9

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

2008abc chia hết cho 5 khi c = {0;5}

+ Với c = 0 => 2008abc = 2008ab0

2008ab0 chia hết cho 9 khi 2+8+a+b = 10+a+b chia hết cho 9 => a+b = {8; 17}

2008ab0 = 2008x1000+ab0 = 2007999 + 1 + ab0. 2007999 chia hết cho 7 => để 2008ab0 chia hết cho 7 thì 1+ab0 phải chia hết cho 7

1+ab0 = 1+100a+10b=(98a+7b)+(1+2a+3b) chia hết cho 7 mà 98a+7b chia hết cho 7 thì 2a+3b+1 = 2(a+b)+b+1 phải chia hết cho 7

Với a+b=8 => 2(a+b)+b+1=2x8+b+1=17+b chia hết cho 7 => b=4 => a=8-b=8-4=4

Với a+b=17 => 2(a+b)+b+1=2x17+b+1=35+b chia hết cho 7 => b={0;7} => a={17; 10} => loại

=> Với c=0 ta có các số 2008440 chia hết cho cả 5; 7 và 9

+ Với c=5 => 2008abc = 2008ab5

2008ab5 chia hết cho 9 khi 2+8+a+b+5=15+a+b chia hết cho 9 => a+b={3; 12}

2008ab5 = 2008x1000+ab5=2007999+1+ab5 chia hết cho 7; 2007999 chia hết cho 7 => để 2008ab5 chia hết cho 7 thì 1+ab5 phải chia hết cho 7

1+ab5=1+100a+10b+5=98a+7b + 2a+3b+5+1; 98a+7b chia hết cho 7 => để 1+ab5 chia hết cho 7 thì 2(a+b)+b+6 chia hết cho 7

Với a+b=3 => 2(a+b)+b+6=2x3+b+6=12+b chia hết cho 7 => b=2 => a=3-b=1

Với a+b=12 => 2(a+b)+b+6=2x12+b+6=30+b chia hết cho 7 => b=5 => a=12-b=12-5=7

=> Với c=5 ta có các số 2008125 và 2008755 chia hết cho cả 5; 7 và 9