Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Svác xơ ngược ta có
\(\frac{1}{2a+3b+3c}=\frac{1}{a+b+a+c+2\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{2}{b+c}\right)\)
tương tự mấy cái kia rồi cộng vào
1.
Ta có: \(\frac{2a+3b+3c+1}{2015+a}+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+\frac{3a+3b+2ac-1}{2017+c}\)
\(=\frac{b+c+4033}{2015+a}+\frac{c+a+4032}{2016+b}+\frac{a+b+4031}{2017+c}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}2015+a=x\\2016+b=y\\2017+c=z\end{cases}}\)
\(P=\frac{b+c+4033}{2015+a}+\frac{c+a+4032}{2016+b}+\frac{a+b+4031}{2017+c}\)
\(=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}}+2\sqrt{\frac{z}{x}\cdot\frac{x}{z}}+2\sqrt{\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{y}}\left(Cosi\right)\)
Dấu "=" <=> x=y=z => \(\hept{\begin{cases}a=673\\b=672\\c=671\end{cases}}\)
Vậy Min P=6 khi a=673; b=672; c=671
Câu 1 thử cộng 3 vào P xem
Rồi áp dụng BDT Cauchy - Schwars : a^2/x + b^2/y + c^2/z ≥(a + b + c)^2/(x + y + z)
giả sử P đạt GTNN khi a=x, b=y; c=z. khi đó ta có:
x,y,z>0 và 4x+3y+4z=22
ta thấy với a=x; b=y; c=z thì
\(\frac{1}{3a}=\frac{1}{3x}=\frac{1}{3x^2};\frac{2}{b}=\frac{2}{y}=\frac{2}{y^2},\frac{3}{c}=\frac{3}{z}=\frac{3}{z^2}\)
do đó, các đánh giá sau sẽ đảm bảo được điều kiện đẳng thức
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{3a}+\frac{a}{3x^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{3a}\cdot\frac{a}{3a^2}}=\frac{2}{3x}\\\frac{2}{b}+\frac{2b}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{2}{b}\cdot\frac{2b}{y^2}}=\frac{4}{y}\\\frac{3}{c}+\frac{3c^2}{z}\ge2\sqrt{\frac{3}{c}\cdot\frac{3c}{z^2}}=\frac{6}{z}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3a}\ge\frac{2}{3x}-\frac{a}{3x^2};\frac{2}{b}\ge\frac{4}{y}-\frac{2b}{y^2};\frac{3}{c}\ge\frac{6}{z}-\frac{3c}{z^2}\)
và như vậy, ta đã chuyển được các phân thức về dạng bậc nhất và thu được
\(P\ge a+b+c+\left(\frac{2}{3x}-\frac{a}{3x^2}\right)+\left(\frac{4}{y}-\frac{2b}{y^2}\right)+\left(\frac{6}{z}-\frac{3c}{z^2}\right)\)
\(=\left(1-\frac{1}{3x^2}\right)a+\left(1-\frac{2}{y^2}\right)b+\left(1-\frac{3}{z^2}\right)c+\frac{2}{3x}+\frac{4}{y}+\frac{6}{z}\)
vấn đề còn lại là ta phải chọn các số x,y,z thích hợp làm sao để có thể sử dụng được giả thiếu 4a+3b+4c=22
muốn vậy các hệ số của a,b,c trong đánh giá trên phải thành lập tỉ lệ 4:3:4 tức là
\(\frac{1-\frac{1}{3x^2}}{4}=\frac{1-\frac{1}{y^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{z^2}}{4}\)
vậy điểm rơi thực sự của bài toán chình là nghiệm của hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}4x+3y+4z=22\\\frac{1-\frac{1}{3x^2}}{4}=\frac{1-\frac{2}{y^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{z^2}}{4}\end{cases}\left(1\right)}\)
giải hệ này ta tìm được x=1; y=2; z=3. khi đó ta có:
\(P\ge\left(1-\frac{1}{3}\right)a+\left(1-\frac{2}{2^2}\right)b+\left(1-\frac{3}{3^2}\right)c+\frac{2}{3}+\frac{4}{2}+\frac{6}{3}\)
\(=\frac{4a+3b+4c}{6}+\frac{14}{3}=\frac{22}{6}+\frac{14}{3}=\frac{25}{3}\)
đẳng thức xảy ra khi a=x=1; b=y=2 và c=z=3
Thay \(a+b+c=3\) ta được:
\(VT=\frac{1}{a\left(a+b+c\right)+bc}+\frac{1}{b\left(a+b+c\right)+ca}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)+ab}\)
\(=\frac{1}{a^2+ab+ac+bc}+\frac{1}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{1}{c^2+ca+bc+ab}\)
\(=\frac{1}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\frac{1}{b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\frac{1}{c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)}\)
\(=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{b+c+a+c+a+b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left[\left(a+b\right)\left(a+c\right)\right].\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\right].\left[\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right]}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{\left(3a+bc\right)\left(3b+ca\right)\left(3c+ab\right)}}=VP\) (Do \(a+b+c=3\))
=> ĐPCM.
ĐK : \(a\ne\pm2;a\ne\frac{-13}{6}\)
Ta có :
\(\frac{3b}{a^2-4}=\frac{1-125a-3b}{6x+13}=1-125a\)
\(\frac{3b}{a^2-4}=\frac{1-125a-3b}{6a+13}=\frac{1-125a}{1}=\frac{1-125a}{a^2+6a+9}\)
\(\Rightarrow a^2+6a+8=0\) ( \(\left(a\ne\frac{1}{125}\right)\)
Nếu \(a=-2\) ( loại)
\(a=-4\) ( t/mãn)
Vậy \(a=-4\)là giá trị a cần tìm
Thay vào biểu thức tìm b .Bạn tự làm nhé !!