Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x^3+2x^2+x+2\right)^n=\left(x+2\right)^n\left(x^2+2\right)^n\)
SHTQ \(C_n^k.x^{n-k}.2^k.C_n^i.\left(x^2\right)^{n-i}.2^i=C_n^k.C_n^i.2^{i+k}.x^{3n-k-2i}\)
\(x^{3n-3}\Leftrightarrow3n-3=3n-k-2i\Leftrightarrow k+2i=3\)
mà k,i\(\in N\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=3;i=0\\k=1;i=1\end{matrix}\right.\)
mà hệ số \(=?????\)
\(\Leftrightarrow C_n^1.C_n^1.2^{1+1}+C^3_n.C_n^0.2^3=??????\)
bấm máy giải tìm đc n
mk bổ sung thêm hằng đẳng thức cho các bạn nha .
ta có : \(\left(a+b\right)^{10}=a^{10}+10a^9b+45a^8b^2+120a^7b^3+210a^6b^4+252a^5b^5+210a^4b^6+120a^3b^7+45a^2b^8+10ab^9+b^{10}\)
\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{2x}{3}\right)^{10}=1+\dfrac{20x}{3}+20x^2+\dfrac{320x^3}{9}+\dfrac{1120x^4}{27}+\dfrac{896x^5}{27}+\dfrac{4480x^6}{243}+\dfrac{5120x^7}{729}+\dfrac{1280x^8}{729}+\dfrac{5120x^9}{19683}+\dfrac{340x^{10}}{19683}\)
ta thấy hệ số lớn nhất trong khai triển này là \(\dfrac{1120}{27}\)
vậy hệ số lớn nhất trong khai triển \(\left(1+\dfrac{2x}{3}\right)^{10}\) là \(\dfrac{1120}{27}\) .
nhớ hok thuộc hằng đẳng thức mới này nha 
.
ta có : \(\left(1+\dfrac{2x}{3}\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}\left(\dfrac{2}{3}\right)^k.x^k\)
vì \(0< \dfrac{2}{3}< 1\) \(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-1}>\left(\dfrac{2}{3}\right)^k\)
mà vì \(K\in N\)
\(\Rightarrow\) hệ số lớn nhất trong khai triển \(\left(1+\dfrac{2x}{3}\right)^{10}\) là \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^0=1\)
Lời giải:
Theo khai triển nhị thức Newton ta có:
\(\left ( 1+\frac{2x}{3} \right )^{10}=\sum _{k=0}^{10}C^{k}_{10} 1^{k}\left ( \frac{2x}{3} \right )^{10-k}\)
\(=C^{0}_{10}\left ( \frac{2x}{3} \right )^{10}+C_{10}^{1}\left ( \frac{2x}{3} \right )^9+.....+C_{10}^{10}\left ( \frac{2x}{3} \right )^0\)
Các hệ số: \(C_{10}^0(\frac{2}{3})^{10}; C_{10}^{1}(\frac{2}{3})^9; ...; C_{10}^{10}(\frac{2}{3})^0\)
Xét hàm: \(f(x)=C_{10}^{x}\left(\frac{2}{3}\right)^{10-x}\)
\(f(a+1)=C_{10}^{a+1}(\frac{2}{3})^{9-a}\)
\(f(a)=C_{10}^{a}\left(\frac{2}{3}\right)^{10-a}\)
\(f(a+1)-f(a)=\frac{10!}{(a+1)!(9-a)!}\frac{2^{9-a}}{3^{9-a}}-\frac{10!}{a!(10-a)!}\frac{2^{10-a}}{3^{10-a}}\)
\(=\frac{10!.2^{9-a}}{a!(9-a)!.3^{9-a}}\left[ \frac{1}{a+1}-\frac{2}{3(10-a)}\right]\)
\(=\frac{10!.2^{9-a}}{a!(9-a)!.3^{9-a}}.\frac{28-5a}{3(a+1)(10-a)}\)
Nếu \(a\geq 6\Rightarrow f(a+1)-f(a)< 0\Rightarrow \) hàm giảm
Nếu \(a\leq 6\Rightarrow f(a+1)-f(a)> 0\) , hàm tăng
Do đó điểm cực đại của \(f(x)\) với \(x=0;1;2;....; 10\) đặt tại \(x=6\)
Do đó hệ số lớn nhất là: \(C_{10}^{6}(\frac{2}{3})^4=\frac{1120}{27}\)
bạn ơi cho mình hỏi !
tại sao giá trị k ở C lại là 6 mà (2/3)4
ta có : \(P\left(x\right)=\sum\limits^{20}_{k=1}\left(2x+1\right)^k=\sum\limits^{20}_{k=1}C_k^p\left(2x\right)^{k-p}\left(1\right)^k\)
để có : \(x^5\Rightarrow k-p=5\)
\(\Rightarrow\) hệ số của \(P\left(x\right)\) trong khai triển là : \(\sum\limits^{20}_{k=1}C^p_k\left(2\right)^{k-p}=C^0_52^5+C^1_62^5+C^2_72^5+...+C^{15}_{20}2^5\)
\(=32\left(C^0_5+C^1_6+C^2_7+...+C^{15}_{20}\right)=32.54264=1736448\)
vậy hệ số của \(x^5\) trong khai triển đa thức \(P\left(x\right)\) là \(1736448\)
Làm xong rồi nhấn gửi thì lỗi, làm lại từ đầu nên chỉ làm 2 câu thôi, 2 câu sau bạn tự làm tương tự:
a/ \(\sum\limits^8_{k=0}C_8^kx^{2k}\left(1-x\right)^k=\sum\limits^8_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_8^kC_k^i\left(-1\right)^ix^{2k+i}\)
Số hạng chứa \(x^8\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2k+i=8\\0\le i\le k\le8\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;4\right);\left(2;3\right)\)
Hệ số: \(C_8^4C_4^0.\left(-1\right)^0+C_8^3C_3^2.\left(-1\right)^2\)
b/ \(1+x+x^2+x^3=\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(1+x+x^2+x^3\right)^{10}=\left(1+x\right)^{10}\left(1+x^2\right)^{10}\)
\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^k\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^ix^{2i}=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC_{10}^ix^{2i+k}\)
Số hạng chứa \(x^5\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2i+k=5\\0\le k\le10\\0\le i\le10\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;5\right);\left(1;3\right);\left(2;1\right)\)
Hệ số: \(C_{10}^0C_{10}^5+C_{10}^1C_{10}^3+C_{10}^2C_{10}^1\)
\(\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}x\right)^4=\sum\limits^4_{k=0}C^k_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4-k}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^k.x^k\)
Nhị thức Newton có 1 đặc điểm là hệ số khi tăng đến số cao nhất sẽ ko tăng nữa mà giảm dần, từ đó ta giả sử \(a_n\) là hệ số lớn nhất\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_n\ge a_{n+1}\\a_n\ge a_{n-1}\end{matrix}\right.\)
\(a_n=C^{n-1}_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\)
\(a_{n-1}=C^{n-2}_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{6-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-2}\)
\(a_{n+1}=C^n_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C^{n-1}_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\ge C^{n-2}_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{6-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-2}\\C^{n-1}_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\ge C^n_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\end{matrix}\right.\)
Bạn tự khai triển nốt nhé, sẽ chặn được k là xong. Mà thú thiệt, mấy bài kiểu này cứ mode-7 rồi nhập hàn là xong :)