Question

[Phạm Cương]

ta viết lên bảng 99 chữ số tự nhiên liên tiếp 1,2,3...99 .Ta thực hiện thao tác sau: xóa 3 số a,b,c bất kì trên bảng rồi lại viết lên bảng số (abc+ab+bc+ca+a+b+c).tiếp tục thực hiện thao tác trên đến khi trên bảng còn lại đúng 1 số.Tìm số còn lại đó

Answer 1

[lê viết sang]

Ta có: abc + ab + bc + ca + a + b + c = (a + 1)(b + 1)(c + 1) - 1
Tại mỗi thao tác thứ nhất ta chọn xóa 3 số a, b, c và thay bằng (a + 1)(b + 1)(c + 1) - 1, ta thấy thao tác này không làm thay đổi tích S = (a1 + 1)(a2 + 1)...(an + 1) với a1, a2, ..., an là tất cả các số còn lại trên bảng
Vì vậy số cuối cùng còn lại bằng: (1 + 1)(2 + 1)(3 + 1)...(99 + 1) - 1 = 100! - 1