Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y;\sqrt[4]{c}=z\)
Cần chứng minh
\(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}>\sqrt[4]{c}=\sqrt[4]{a+b}\)
\(\Rightarrow\left(x^3+y^3\right)^4>\left(x^4+y^4\right)^3\)
Rôi phân phối ra là thấy
a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)
<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)
<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)
<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)
1) Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{ab}>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\sqrt{ab}>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+2\sqrt{ab}>a+b\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2>a+b\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)
Vậy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)
1. Ta có: \(\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+2\sqrt{ab}+b\)
Vì \(a>0\), \(b>0\)\(\Rightarrow\sqrt{ab}>0\)\(\Rightarrow2\sqrt{ab}>0\)
\(\Rightarrow a+b< a+2\sqrt{ab}+b\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
mà \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a+b}>0\\\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)( đpcm )
Ta có :
\(A+B=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\)
\(=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+2\sqrt{ab}\)
\(=\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-3\sqrt{ab}\right]+2\sqrt{ab}\)
\(A.B=\sqrt{ab}\left(\sqrt{ab+1}\right)+\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-3\sqrt{ab}\right]\)
Đặt \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=x;\)\(\sqrt{ab}=y\)\(\left(x;y\in Q\right)\)thì :
\(A+B=x\left(x^2-3y\right)+2y\)
\(A.B=y\left(y+1\right)+xy\left(x^2-3y\right)\)
\(\Rightarrow\)Các đa thức này là các số hữa tỉ \(\left(đpcm\right)\)
Giải
a) Ta có: \(\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b\) (1)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\) (2)
Vì a > 0, b > 0 nên \(2\sqrt{ab}>0\), do đó từ (1) và (2) suy ra
\(\left(\sqrt{a+b}\right)^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\) hay \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
b) Áp dụng câu a) cho hai số dương 2004 và 2005, ta có
\(\sqrt{2004+2005}< \sqrt{2004}+\sqrt{2005}\)
Vì a > 0 và b > 0 ta đc:
Đặt \(A=\sqrt{a+b}\)
\(A^2=a+b\)
\(B=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(B^2=a+b+2\sqrt{ab}\)
Vì \(a+b< a+b+2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\left(đpcm\right)\)
a) \(\sqrt{36-25}=\sqrt{11}\)
\(\sqrt{36}-\sqrt{25}=6-5=1\)
Suy ra \(\sqrt{36-25}>\sqrt{36}-\sqrt{25}\)
a,\(\sqrt{36-25}=-1\)
\(\sqrt{36}-\sqrt{25}=1\)
Vậy: \(\sqrt{36-25}< \sqrt{36}-\sqrt{25}\)