Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\\cos^2x-cosx+m=0\end{matrix}\right.\)
Do \(sinx=1\) có đúng 1 nghiệm thuộc \(\left[0;2\pi\right]\) nên \(cos^2x-cosx+m=0\) có 4 nghiệm thuộc đoạn đã cho
Đặt \(cosx=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}cosx=t\\t^2-t=-m\end{matrix}\right.\) đều có 2 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< t< 1\\t^2-t=m\end{matrix}\right.\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-t\) trên \(\left(-1;1\right)\)
\(f\left(-1\right)=2\) ; \(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow-\frac{1}{4}< -m< 0\Rightarrow0< m< \frac{1}{4}\)
6.
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}cos6x+\frac{1}{2}cos4x=\frac{1}{2}cos6x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}cos2x+1\)
\(\Leftrightarrow cos4x=4cos2x+5\)
\(\Leftrightarrow2cos^22x-1=4cos2x+5\)
\(\Leftrightarrow cos^22x-2cos2x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=-1\\cos2x=3>1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
7.
Thay lần lượt 4 đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn
8.
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\\sinx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right\}\)
9.
Đặt \(sinx+cosx=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le t\le1\\sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow mt+\frac{t^2-1}{2}+1=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+2mt+1=0\)
Pt đã cho có đúng 1 nghiệm thuộc \(\left[-1;1\right]\) khi và chỉ khi: \(\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-1\end{matrix}\right.\)
10.
\(\frac{\sqrt{3}}{2}cos5x-\frac{1}{2}sin5x=cos3x\)
\(\Leftrightarrow cos\left(5x-\frac{\pi}{6}\right)=cos3x\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x-\frac{\pi}{6}=3x+k2\pi\\5x-\frac{\pi}{6}=-3x+k2\pi\end{matrix}\right.\)
7.
Đặt \(\left|sinx+cosx\right|=\left|\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|=t\Rightarrow0\le t\le\sqrt{2}\)
Ta có: \(t^2=1+2sinx.cosx\Rightarrow sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}\) (1)
Pt trở thành:
\(\frac{t^2-1}{2}+t=1\)
\(\Leftrightarrow t^2+2t-3=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1) \(\Rightarrow2sinx.cosx=t^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow sin2x=0\Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}\)
\(\Rightarrow x=\left\{\frac{\pi}{2};\pi;\frac{3\pi}{2}\right\}\Rightarrow\sum x=3\pi\)
6.
\(\Leftrightarrow\left(1-sin2x\right)+sinx-cosx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x-2sinx.cosx\right)+sinx-cosx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)^2+sinx-cosx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)\left(sinx-cosx+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx-cosx=0\\sinx-cosx=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0\\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\frac{\pi}{4}=k\pi\\x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=k\pi\\x=\frac{3\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)
Pt có 3 nghiệm trên đoạn đã cho: \(x=\left\{\frac{\pi}{4};0;\frac{\pi}{2}\right\}\)
Đặt \(cosx=t\Rightarrow-1\le t\le1\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)=t^2+2\left(1-m\right)t+2m-1=0\) (1)
Ứng với mỗi giá trị \(t\) sao cho \(-1< t\le1\) luôn có 2 giá trị \(x\in\left[0;2\pi\right]\)
Do đó pt đã cho có 4 nghiệm khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(-1< t\le1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(1-m\right)^2-\left(2m-1\right)>0\\f\left(-1\right)>0\\f\left(1\right)\ge0\\-1< \frac{t_1+t_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4m+2>0\\4m-2>0\\2\ge0\\-1< m-1< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}< m< 2-\sqrt{2}\)
1.
Từ đường tròn lượng giác ta thấy pt đã cho có nghiệm duy nhất thuộc \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3}\right]\) khi và chỉ khi:
\(\left[{}\begin{matrix}2m=1\\0\le2m< \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{1}{2}\\0\le m< \frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
2.
\(\Leftrightarrow3x-\frac{\pi}{3}=x+\frac{\pi}{4}+k\pi\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\)
\(-\pi< \frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}< \pi\Rightarrow-\frac{31}{12}< k< \frac{17}{12}\)
\(\Rightarrow k=\left\{-2;-1;0;1\right\}\) có 4 nghiệm
3.
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\2x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\\x=\frac{\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\) có 4 điểm biểu diễn
1.
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos4x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\cos4x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=...\)
(Cứ bấm máy giải pt bậc 2 như bt, nó cho 2 nghiệm rất xấu, bạn lưu 2 nghiệm vào 2 biến A; B rồi thoát ra ngoài MODE-1, tính \(\sqrt{A^2}\) và \(\sqrt{B^2}\) sẽ ra dạng căn đẹp của 2 nghiệm, lưu ý dấu so với nghiệm ban đầu)
2.
\(\Leftrightarrow cos4x+1+sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=cos2x\)
\(\Leftrightarrow2cos^22x-cos2x=cos2x\)
\(\Leftrightarrow cos^22x-cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=0\\cos2x=1\end{matrix}\right.\)
3.
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}cos\left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\right]=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow...\)
4.
\(\Leftrightarrow2cos4x.cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+2sin4x.sin\left(\frac{\pi}{3}\right)+4cos2x=-1\)
\(\Leftrightarrow cos4x+\sqrt{3}sin4x+4cos2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^22x+2\sqrt{3}sin2x.cos2x+4cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow2cos2x\left(cos2x+\sqrt{3}sin2x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow cos2x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow cos2x\left[sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+1\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=0\\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-1\end{matrix}\right.\)