Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2. Áp dụng BĐT Cauchy dưới dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+4+9\right)^2}{x+y+z}=196\)
⇒ \(P_{MIN}=196."="\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
\(Q\ge2\left(x+y+z\right)+3.\frac{9}{x+y+z}=2\left(x+y+z\right)+\frac{27}{x+y+z}.\)
Đặt X+Y+Z=t (\(t\le1\))
\(Q\ge2t+\frac{27}{t}=\left(2t+\frac{2}{t}\right)+\frac{25}{t}\ge2\sqrt{2t.\frac{2}{t}}+\frac{25}{1}=4+25=29\\ \)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3
Theo bđt cô si ta có : \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\) và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)
=> \(Q\ge6\sqrt[3]{xyz}+9\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\ge2\sqrt{6\sqrt[3]{xyz}\cdot9\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}}=6\sqrt{6}\)
Dấu = xảy ra khi : \(6\sqrt[3]{xyz}=9\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\) Giải ra ta đc : \(xyz=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(P=\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{9}{2x}\right)+\left(\dfrac{y}{8}+\dfrac{2}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{4}+\dfrac{9}{z}\right)+\dfrac{1}{8}\left(4x+7z+6z\right)\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{9x}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{2y}{8y}}+2\sqrt{\dfrac{9z}{4z}}+\dfrac{1}{8}.76=\dfrac{33}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(\left(x;y;z\right)=\left(3;4;6\right)\)