OH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TC
11 tháng 12 2018
\(P=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(4-\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}}\geq x^{2}+1+\frac{1}{(3-\frac{1}{x})^{2}}=x^{2}+1+\frac{x^{2}}{(3x-1)^{2}}\) ( do \(y\geq 1)\)
\(x> \frac{1}{3}=>3x-1> 0 \)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương:
\(x^{2}+\frac{x^{2}}{4(3x-1)^{2}}\geq 2\sqrt{x^{2}.\frac{x^{2}}{4(3x-1)^{2}}}=\frac{x^{2}}{3x-1}\)
Ta cm: \(\frac{x^{2}}{3x-1}\geq \frac{1}{2}<=>2x^{2}\geq 3x-1<=>(x-1)(2x-1)\geq 0\) đúng do \(\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2}\)
\(1+\frac{3x^{2}}{4(3x-1)^{2}}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}(1+\frac{x^{2}}{(3x-1)^{2}})\geq \frac{1}{4}+\frac{3}{4}.2.\frac{x}{3x-1}\geq \frac{1}{4}+\frac{3}{4}.2=\frac{7}{4}\)
Do \(\frac{x}{3x-1}=\frac{1}{3}.\frac{3x}{3x-1}=\frac{1}{3}(1+\frac{1}{3x-1})\geq \frac{1}{3}(1+\frac{1}{\frac{3}{2}-1})=1\)
\(<=>y=1,x=\frac{1}{2}\)
Phù ~ THỞ PHÀO NHẸ NHÕM
NT
1
TT
16 tháng 9 2020
Ta có : \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
\(\Rightarrow4\left(x^2+y^2\right)\ge8\)
Lại có : \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{2^2}=1\)
Do đó : \(P=4\left(x^2+y^2\right)+\frac{1}{xy}\ge8+1=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
4 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT Minicopski ta có:
\(T=\sqrt{x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\sqrt{\left(x^2+y\right)^2+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{1^2+\left(\frac{4}{x^2+y}\right)^2}=\sqrt{1+\left(\frac{4}{1}\right)^2}=\sqrt{17}\)
Nên GTNN của T là \(\sqrt{17}\) khi \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{1}{2}}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
NT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2020
\(\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\Rightarrow\left(x+y\right)^3+\left(x+y\right)^2\ge\left(x+y\right)^3+4xy\ge2\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3+\left(x+y\right)^2-2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y+1\right)^2+1\right]\ge0\)
\(\Rightarrow x+y\ge2\) \(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge2\)
Ta có: \(A=3\left(x^2+y\right)^2-3x^2y^2-2\left(x^2+y^2\right)+1\)
\(A\ge3\left(x^2+y^2\right)^2-\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1=\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1\)
\(A\ge\frac{9}{4}\left(x^2+y^2-2\right)\left(x^2+y^2+\frac{10}{9}\right)+6\ge6\)
\(A_{min}=6\) khi \(x=y=1\)