Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho hàm số y=f(x)y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;π2][0;π2]thoả mãn f(x)=f′(x)−2cosxf(x)=f′(x)−2cosx. Biết f(π2)=1f(π2)=1, tính giá trị f(π3)f(π3)
A. √3+1/2 B. √3−1/2 C. 1−√3/2 D. 0
Lời giải:
$f'(x)=1-\cos x\geq 0$ với mọi $x\in [0; \frac{\pi}{2}]$. Trong đó $f'(x)=1-\cos x=0$ chỉ xảy ra khi $x=0$ với điều kiện $x\in [0; \frac{\pi}{2}]$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên $[0; \frac{\pi}{2}]$
Lời giải:
Ta có:
\(\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx+\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)
\(=A+B\)
Xét riêng rẽ:
\(A=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin^3 x}{(\sin x+\cos x)^3}.\frac{dx}{\sin ^2x}=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}\right)^3}d(-\cot x)\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(\cot x+1)^3}d(-\cot x)=-\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{d(\cot x+1)}{(\cot x+1)^3}\)
\(=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ \frac{\pi}{4}\end{matrix}\right|\frac{1}{2(\cot x+1)^2}=\frac{3}{8}\)
\(B=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\sin x+\cos x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{ 1}{(\sin x+\cos x)^2}dx-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\cos x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)^2}.\frac{dx}{\cos ^2x}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos^3 x}\right)^3}.\frac{dx}{\cos ^2x}\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x)}{(\tan x+1)^2}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x)}{(\tan x+1)^3}\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x+1)}{(\tan x+1)^2}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x+1)}{(\tan x+1)^3}\)
\(=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{-1}{\tan x+1}+\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{1}{2(\tan x+1)^2}=\frac{1}{8}\)
Do đó: \(\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\)
Sở dĩ phải chia tích phân thành tổng nhỏ như vậy là do khi ta thực hiện chia sin x xuống dưới mẫu thì hàm số không liên tục trong đoạn \([\frac{\pi}{2}; 0]\)
non
có cc