Question

[Kha Nguyễn]

Với những giá trị nào củ x thỏa mãn điều kiện \(x\ge-\frac{1}{2}\), hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

f(x)= \(\sqrt{2x^2+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x\)

giúp mình với

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

Với \(x\ge-\frac{1}{2}\)

2f(x) = \(2\sqrt{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)}+4\sqrt{x+3}-4x\)

\(=-\left(2x+1\right)+2\sqrt{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)}-\left(x+2\right)-\left(x+3\right)+4\sqrt{x+3}-4+10\)

\(=-\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}\right)^2-\left(\sqrt{x+3}-2\right)^2+10\le10\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x+1=x+2\\x+3=4\end{cases}}\Leftrightarrow x=1\)

=> min 2f(x) = 10 tại x = 1

=> min f(x) = 5 tại x = 1