Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
Mà \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \).
\( \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}}}{{{{(2bc)}^2}}}} \)
\( \Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}\sqrt {{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}} \)
Đặt \(M = \sqrt {{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {(2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2})(2bc - {b^2} - {c^2} + {a^2})} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\left[ {{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right].\left[ {{a^2} - {{(b - c)}^2}} \right]} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {(b + c - a)(b + c + a)(a - b + c)(a + b - c)} \end{array}\)
Ta có: \(a + b + c = 2p\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c - a = 2p - 2a = 2(p - a)\\a - b + c = 2p - 2b = 2(p - b)\\a + b - c = 2p - 2c = 2(p - c)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {2(p - a).2p.2(p - b).2(p - c)} \\ \Leftrightarrow M = 4\sqrt {(p - a).p.(p - b).(p - c)} \\ \Rightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}.4\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \\ \Leftrightarrow \sin A = \frac{2}{{bc}}.\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \end{array}\)
b) Ta có: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)
Mà \(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2}bc.\left( {\frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} } \right)\\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} .\end{array}\)
a) Diện tích \({S_1}\) của tam giác IAB là: \({S_1} = \frac{1}{2}r.AB = \frac{1}{2}r.c\)
Diện tích \({S_2}\) của tam giác IAC là: \({S_2} = \frac{1}{2}r.AC = \frac{1}{2}r.b\)
Diện tích \({S_3}\) của tam giác IBC là: \({S_3} = \frac{1}{2}r.BC = \frac{1}{2}r.a\)
b) Diện tích S của tam giác ABC là:
\(\begin{array}{l}S = {S_1} + {S_2} + {S_3} = \frac{1}{2}r.c + \frac{1}{2}r.b + \frac{1}{2}r.a = \frac{1}{2}r.(c + b + a)\\ \Leftrightarrow S = \frac{{r(a + b + c)}}{2}\end{array}\)
a) Diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a}\)
b) Xét tam giác vuông AHC ta có: \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{{h_a}}}{b}\)
\( \Rightarrow {h_a} = b.\sin C\)
c) Thay \({h_a} = b.\sin C\) vào công thức diện tích, ta được: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)
d) Theo định lí sin ta có: \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{c}{{2R}}\)
Thay vào công thức ở c) ta được: \(S = \frac{1}{2}ab\frac{c}{{2R}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\)
a: \(AB=\sqrt{\left(2+2\right)^2+\left(-1-2\right)^2}=5\)
\(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)
Do đó: ΔABC cân tại B
Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
=> \(R = \frac{a}{{2\sin A}}\) => A sai.
\(R = \frac{b}{{2\sin B}}=\frac{b}{{2\sin 135^o}}=\frac{{\sqrt 2 }}{2}b\) => B đúng.
C. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c\) (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)
D. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\) (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)
Chọn B
a: Xét ΔCAB có \(cosC=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)
=>\(\dfrac{2^2+3-AB^2}{2\cdot2\cdot\sqrt{3}}=cos30=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
=>\(7-AB^2=4\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\cdot3=6\)
=>AB=1
b: Xét ΔABC có \(AB^2+BC^2=CA^2\)
nên ΔABC vuông tại B
=>\(S_{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot BA\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Độ dài đường trung tuyến kẻ từ A là:
\(m_A=\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{4+1}{2}-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)
Ta có: \(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p}\)
Mà \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) (công thức Heron), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \sqrt {\frac{{a + b + c}}{2}\left( {\frac{{a + b + c}}{2} - a} \right)\left( {\frac{{a + b + c}}{2} - b} \right)\left( {\frac{{a + b + c}}{2} - c} \right)} \\ = \sqrt {\frac{1}{{16}}.\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)} \\ = \frac{1}{4}\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow r = \frac{{\frac{1}{4}\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)} }}{{\frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)}}\\ = \frac{1}{2}\frac{{\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)} }}{{a + b + c}}\\ = \frac{{\sqrt {\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)} }}{{2\sqrt {a + b + c} }}\;\;(dpcm)\end{array}\)