Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi \(AH\) là hình chiếu của \(A\) trên \(d\)
\(\Rightarrow AH:-2x+4y+c'=0\)
AH đi qua \(A\left(1;1\right)\Rightarrow-2.1+4.1+c'=0\)
\(\Rightarrow c'=-2\)
\(\Rightarrow\) phương trình \(AH\) là : \(-2x+4y-2=0\Rightarrow-x+2y-1=0\)
Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}-x+2y-1=0\\4x+2y+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{2}{5}\\y=\dfrac{3}{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow H\left(-\dfrac{2}{5};\dfrac{3}{10}\right)\)
Gọi \(\left(d'\right)\) là đường thẳng qua A và vuông góc với (d). Do (d) có VTPT \(\overrightarrow{n_d}=\left(4;2\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\left(d'\right)\) có VTPT \(\overrightarrow{n_{d'}}=\left(2;-4\right)\) hay \(\left(d'\right):2x-4y+m=0\) \(\left(m\inℝ\right)\)
Mà \(A\left(1;1\right)\in\left(d'\right)\) nên \(2-4+m=0\Leftrightarrow m=2\). Vậy đường thẳng qua A và vuông góc với \(d\) có pt là \(2x-4y+2=0\) hay \(x-2y+1=0\)
Do đó hình chiếu vuông góc H của A lên d chính là giao điểm của d' và d. Nếu \(H\) có tọa độ \(\left(x_H;y_H\right)\) thì \(x_H;y_H\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x_H-2y_H+1=0\\4x_H+2y_H+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_H=-\dfrac{2}{5}\\y_H=\dfrac{3}{10}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow H\left(-\dfrac{2}{5};\dfrac{3}{10}\right)\).
Vậy hình chiếu của A lên d có tọa độ \(\left(-\dfrac{2}{5};\dfrac{3}{10}\right)\)
giả sử có một đường thẳng d' đi qua A và vuông góc với d. Do đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\)= (2;1) nên suy ra véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d' là \(\overrightarrow{n'}\)= (1;-2) mà đường thẳng d' đi qua điểm A(2;1) .Suy ra
phương trình của đường thẳng d' có dạng:
1(x-2) - 2(y-1) =0
⇔x - 2y =0
Suy ra tọa độ của hình chiếu H của A lên đường thẳng d là nghiệm của phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=0\\2x+y-7=0\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{14}{5}\\y=\dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.\)
vậy .........