Question

[Nguyễn Lan Anh]

trong các hình thang có 3 cạnh bằng nhau tìm hình thang có diện tích lớn nhất

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Giả sử hình có hình thang ABCD mà AD = AB = BC = a

Từ B kẻ BE // AD => DE = BE = a

Gọi BH là đường cao của hình thang => HE = HC đặt HE = x. Vậy ta có \(BH=\sqrt{a^2-x^2}\)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S=\frac{AB+DC}{2}.BH=\frac{a+a+2x}{2}.\sqrt{a^2-x^2}\)

\(=\left(a+x\right)\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{\left(a+x\right)^2\left(a^2-x^2\right)}\)

\(=\sqrt{27\left(a-x\right).\frac{a+x}{3}.\frac{a+x}{3}.\frac{a+x}{3}}\)(1)

Muốn S lớn nhất thì vế phải của (1) lớn nhất. Mặt khác ta có:

\(\left(a-x\right)+\frac{a+x}{3}+\frac{a+x}{3}+\frac{a+x}{3}=2a\)không đổi, nên S lớn nhất khi \(a-x=\frac{a+x}{3}\Rightarrow a=2x\)

Như vậy hình thang có ba cạnh bằng nhau thì hình thang có một góc bằng 60⁰ có diện tích lớn nhất.