Question

[Dương No Pro]

Tìm số n \(\in\)N* cho n³ - n² + n - 1 là số nguyên tố

Answer 1

[Nguyễn Minh Đăng]

Ta có: \(n^3-n^2+n-1\)

\(=n^2\left(n-1\right)+\left(n-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

Ta thấy \(n-1< n^2+1\) nên điều kiện cần để số trên là nguyên tố là: \(n-1=1\Rightarrow n=2\)

\(\Rightarrow n^3-n^2+n-1=5\) thỏa mãn

G/S ngược lại \(n-1\ne1\) thì \(n^2+1\ne1\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\) không là số nguyên tố (vô lý)

Vậy n = 2

Answer 2

[Xyz OLM]

Với n = 2 

=> n³ - n² + n - 1 = 5 (tm)

Với n > 2 

=> \(\orbr{\begin{cases}n=2k+1\\n=2k\end{cases}}\left(k\inℕ^∗\right)\)

Với n = 2k + 1 khi đó : n³ - n² + n - 1 

=  (n³ - n²) + (n - 1)

= n²(n - 1) + (n - 1)

= (n - 1)(n² + 1)

= (2k + 1 - 1)[(2k + 1)² + 1]

= 2k[(2k + 1)² + 1] \(⋮\)2 (loại)

Với n = 2k 

=> n³ - n² + n - 1 

= (n - 1)(n² + 1)

= (2k - 1)[(2k)² + 1]

= (2k - 1)(4k + 1) \(⋮2k-1\)(loại)

=> n = 2 là giá trị cần tìm