Question

[Nguyễn Hồ Yến Trang]

Tìm phần nguyên của a với a =

Answer 1

[Nguyễn Đăng Nhân]

Ta có:\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\)với\(k\in\left\{1,2,...,n\right\}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-AG ta có:

\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{1\cdot1\cdot...\cdot1}{k}\cdot\frac{k+1}{k}}< \frac{1+1+..+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

\(\Rightarrow1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}< 1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

Cộng lại giá trị lần lượt của k, ta được:

\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}< n+1-\frac{1}{n}< n+1\)

\(\Rightarrow\)Phần nguyên \(a=n\)hay phần nguyên của a là n