Câu hỏi của Nguyễn Anh Khoa

Question

Tìm n là số tự nhiên để $n^4+4^n$ al2 số nguyên tố

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Nếu $n$ chẵn thì $n^4+4^n$ chẵn. Hiển nhiên $n\neq 0$ nên $n^4+4^n>2$. Do đó $n^4+4^n$ không thể là số nguyên tố

Nếu $n$ lẻ:

$n^4+4^n=(n^2+2^n)^2-2^{n+1}n^2=(n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n)(n^2+2^n+2^{\frac{n+1}{2}}n)$

Do $n$ lẻ nên $\frac{n+1}{2}\in\mathbb{N}$. Do đó mỗi thừa số đều là số nguyên dương.

Vì $n^4+4^n\in\mathbb{P}\Rightarrow $ một trong hai thừa số trên phải bằng $1$. Hiển nhiên

$n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n=1$

Bằng quy nạp, ta sẽ CM rằng $2^\frac{n-1}{2}>n$ với $n\geq 7$ $(1)$

Thật vậy:

Với $n=7,8,...$ điều trên đúng. Giả sử nó đúng với $n=k$ tức là $2^\frac{k-1}{2}>k$

Khi đó ta có $2^{\frac{k+1-1}{2}}=2^{\frac{k-1}{2}}.2^{\frac{1}{2}}>2^{\frac{1}{2}}k>k+1$ với mọi $k\geq 7$

Do đó ta có $(1)$ Suy ra với $n\geq 7 \Rightarrow n^2+2^n-2^{\frac{n+1}{2}}n>n^2>1$ ( vô lý)

$\Rightarrow n<7$. Thử $n=1,3,5$ có $n=1$ thỏa mãn. Khi đó $n^4+4^n=5\in\mathbb{P}$

Vậy $n=1$

Câu trả lời: