K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
G
8 tháng 7 2019
\(A=\sqrt{\frac{x}{2y^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{y}{2x^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{z}{2x^2y^2+xyz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{2xyz.yz+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{2xyz.xz+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{2xyz.xy+xz.yz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(xy+yz+xz\right)+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{xz\left(xy+yz+xz\right)+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(xy+yz+xz\right)+xz.yz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{\left(yz+xy\right)\left(yz+xz\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{\left(xz+xy\right)\left(xz+yz\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{\left(xy+yz\right)\left(xy+xz\right)}}\)
Áp dụng bđt \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\) ta có:
\(2A\le\frac{x}{yz+xy}+\frac{x}{yz+xz}+\frac{y}{xz+xy}+\frac{y}{xz+yz}+\frac{z}{xy+yz}+\frac{z}{xy+xz}\)
\(=\frac{x+z}{yz+xy}+\frac{x+y}{yz+xz}+\frac{y+z}{xz+xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Mà: \(xy+yz+xz=2xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)
\(\Rightarrow2A\le2\Rightarrow A\le1."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{3}{2}\)
T
3 tháng 8 2019
Xét nào:)
Từ giả thiết suy ra x + y + z > 3
Ta có: \(P=2x^2+xy+2y^2=\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2\)
Suy ra \(\sqrt{2x^2+xy+y^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.\left(x+y\right)=\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế: \(P\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Is it right?!?
16 tháng 4 2017
Cách giải khác:
Ta chứng minh bổ đề:
\(\dfrac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)(Đúng)
Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}\le\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z};\dfrac{11z+4x}{4z^2-xz+2x^2}\le\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{x}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\le\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}=\dfrac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
16 tháng 4 2017
Câu hỏi của Neet - Toán lớp 10 | Học trực tuyến đổi biến (a,b,c)->(x,y,z) là y nhau
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 8 2020
Lời giải:
Xét mẫu thức:
$2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz=(xy^2+yz^2+zx^2)+(xy^2+xyz)+(yz^2+xyz)+(xz^2+xyz)$
$=xy^2+yz^2+zx^2+xy(y+z)+yz(z+x)+xz(x+y)$
$=xy^2+yz^2+zx^2-(x^2y+y^2z+z^2x)$
$=(x-y)(y-z)(z-x)$
$\Rightarrow (2xy^2+2yz^2+2zx^2)^2=(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2$
Xét tử thức:
$(xy+2z^2)(yz+2x^2)(xz+2y^2)$
$=[xy+z^2-z(x+y)][yz+x^2-x(z+y)][xz+y^2-y(x+z)]$
$=(z-x)(z-y)(x-y)(x-z)(y-x)(y-z)=-(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2$
Do đó: $A=-1$
BL
1
TN
8 tháng 8 2017
Điều kiện:......
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A=\frac{xy\sqrt{z-6}+yz\sqrt{x-2}+xz\sqrt{y-4}}{xyz}\)
\(=\frac{\sqrt{z-6}}{z}+\frac{\sqrt{x-2}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}\)
\(=\frac{\sqrt{6\left(z-6\right)}}{\sqrt{6}z}+\frac{\sqrt{2\left(x-2\right)}}{\sqrt{2}x}+\frac{\sqrt{4\left(y-4\right)}}{\sqrt{4}y}\)
\(\le\frac{\frac{6+z-6}{2}}{\sqrt{6}z}+\frac{\frac{2+x-2}{2}}{\sqrt{2}x}+\frac{\frac{4+y-4}{2}}{\sqrt{4}y}\)
\(\le\frac{\frac{z}{2}}{\sqrt{6}z}+\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{2}x}+\frac{\frac{y}{2}}{\sqrt{4}y}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}}\right)\)
Xảy ra khi \(z=12;y=8;x=4\)
28 tháng 8 2018
\(A=\frac{xy+2y+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2z+1}{yz+y+z+1}+\frac{zx+2x+1}{zx+z+x+1}\)
\(=\frac{y\left(x+1\right)+y+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{z\left(y+1\right)+z+1}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{x\left(z+1\right)+x+1}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\frac{y}{y+1}+\frac{1}{x+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{x}{x+1}+\frac{1}{z+1}\)
\(=\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}+\frac{x+1}{x+1}=3\)
TA
2 tháng 7 2017
Vì \(x+y+z=2\)
Ta có \(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x^2+xy\right)+\left(xz+yz\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(\le\frac{x+y+x+z}{2}=\frac{2x+y+z}{2}\)
Tương tự \(\sqrt{2y+zx}\le\frac{x+2y+z}{2}\) và \(\sqrt{2z+xy}\le\frac{x+y+2z}{2}\)
Do đó \(P\le\frac{2x+y+z}{2}+\frac{x+2y+z}{2}+\frac{x+y+2z}{2}=\frac{4\left(x+y+z\right)}{2}=\frac{4.2}{2}=4\)
Vậy \(P\le4\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x+y=x+z\\y+x=y+z\\z+x=z+y\end{cases}}\) và x+y+z=2 \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{2}{3}\)